总结-DaoFP-范畴论
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01 始对象和终对象
$$ % 杂项 ======================================================================== {\rm \LaTeX}\text{ Definitions are here.} \let\ph=\phantom \let\hph=\hphantom \let\vph=\vphantom \let\mrel=\mathrel \let\mbin=\mathbin \let\mllap=\mathllap \let\mrlap=\mathrlap \let\mclap=\mathclap \def\verts#1{\lvert#1\rvert} \def\pla{\vph{(fg)}} % 柱子, 用于指定盒子的最小高度 %\def\pla{\bbox[0pt,red]{\,\vph{fg}}} % 测试柱子是否被使用 %\let\objectstyle=\pla % 交换图里所有对象都加上 \def\prs#1{(#1)} % 为表达式添加括号 \def\etc{\textrm{etc}} % 对应省略号 等等等等 \def\wld{\_} % 对应通配符 _ % 值构造器 ==================================================================== \def\cons{\mbin{.}} % 对应积类型 cons \def\ethr{\mbin{}} % 对应和类型 either \def\concat{\mbin{\tt{:}}} % 对应列表类型的 concat % 打印名称 ==================================================================== % 打印常变量 ------------------------------------------------------------------- \newcommand{\obj}[1][c]{\pla \smash{\sf #1}} % 对象 \def\obji{\obj[0]} % 对象 : 始 \def\objt{\obj[1]} % 对象 : 终 \newcommand{\cat}[1][C]{\pla \smash{\sf #1}} % 范畴 : C默认 \def\catCat{\cat[Cat]} % 范畴 : Cat \def\catSet{\cat[Set]} % 范畴 : Set \def\catHask{\cat[Hask]} % 范畴 : Hask — 笛卡尔闭范畴 +/× 都在里面 \newcommand{\arr}[1][f]{\pla \smash{#1}} % 箭头 \newcommand{\arr}[1][f]{\bbox[0pt, violet]{\pla \smash{#1}}} % 测试箭头是否被使用 \newcommand{\fct}[1][F]{\pla \smash{#1}} % 函子 \newcommand{\fct}[1][F]{\bbox[0pt,orange]{\pla \smash{#1}}} % 测试函子是否被使用 \newcommand{\ntf}[1][\eta]{\pla \smash{#1}} % 自然变换 \newcommand{\ntf}[1][\eta]{\bbox[0pt,pink]{\pla \smash{#1}}} % 测试自然变换是否被使用 % 打印方法名 ------------------------------------------------------------------ \newcommand{\opr}[2][\cat]{\pla \smash{ % 方法的名称 形式 1 \overset{\mclap{\small #1}}{#2}}} \def\rst#1undr#2{ % 方法的名称 形式 2 {}^{}_{\smash{:#2}}{\pla \smash{#1}}} \newcommand{\id}[1][\obj]{ % 对象的 id \rst{\textrm{id}}undr#1} \newcommand{\absurd}[1][\obj]{ % 对象的 absurd \rst{{\large\textexclamdown\hspace{-3px}}}undr#1} \newcommand{\bang}[1][\obj]{ % 对象的 bang \rst{\textrm{!}}undr#1} \newcommand{\src}[1][\cat]{ % 箭头的源头 \opr[#1]{\textrm{src}}} \newcommand{\tar}[1][\cat]{ % 箭头的目标 \opr[#1]{\textrm{tar}}} \def\dom{\pla \textrm{dom}} % 箭头的定义域 \def\img{\pla \textrm{img}} % 箭头的值域 \newcommand{\Id}[1][\cat]{ % 范畴的 ID \rst{\textrm{Id}}undr#1} \def\Obj{\pla \textrm{Obj}} % 范畴的所有对象 \def\Arr{\pla \textrm{Arr}} % 范畴的所有箭头 \def\op{\textrm{op}} % 范畴的对偶 \newcommand{\catplus}[1][\cat]{ % 范畴 C 中的运算 + \opr[#1]{+}} \newcommand{\cattimes}[1][\cat]{ % 范畴 C 中的运算 × \opr[#1]{\times}} \newcommand{\catotimes}[1][\cat]{ % 范畴 C 中的运算 ⊗ \opr[#1]{\otimes}} \newcommand{\catcirc}[1][\cat]{ % 范畴 C 中的运算 ○ \opr[#1]{\circ}} \newcommand{\cathom}[1][\cat]{\smash{ % 范畴 C 中的运算 → \xrightarrow{\small #1}}} \newcommand{\catcong}[1][\cat]{ % 范畴 C 中的同构 ≅ \opr[#1]{\cong}} \newcommand{\Di}[2][\cat]{\pla \smash[b]{ % 对角函子 \underset{\small #2}{\opr[#1]{\textrm{Di}}}}} \newcommand{\I}[1][F]{ % 函子的 ID 自然变换 \rst{\iota}undr#1} \def\yoneda{{\raise{-1px}{ % 米田嵌入 \hspace{-1px}\pla\smash{よ}\hspace{-1px}}}} \def\yoda{\pla \smash{ % 尤达嵌入 尤}} % 用方法求值 ------------------------------------------------------------------- \newcommand{\evlcry}[3][\prs]{ % 用方法求值 柯里化 \bbox[border: 1px solid Orchid]{% % 针对的方法有 #1{#3{#2}} % Id id bang absurd } } \newcommand{\evlcrytxt}[3][\prs]{ % 用方法求值 柯里化 \bbox[border: 1px solid Orchid]{% % 针对的方法有 #1{#3~{#2}} % Di Obj Arr src dom img } } \newcommand{\evlcrynat}[3][\prs]{ % 用方法求值 柯里化 \bbox[border: 1px solid Orchid]{% % 针对的方法 自然变换 有 #1{#3^{#2}} % η θ } } \def\evlbig#1#2#3{ % 用方法求值 大算符 \bbox[border: 1px solid Orchid]{% % 针对的方法 大算符 有 #2\rst{#1}undr#3% % ∑ ∏ ⨿ } } \newcommand{\evlbin}[4][\prs]{ % 用方法求值 二元运算 \bbox[border: 1px solid Orchid]{% % 针对的方法 二元运算 有 #1{#3 \mbin{#2} #4}% % ＋ × ⊗ ○ → } } $$泛性质
范畴由对象及其间箭头构成 。本文重点
分析余积闭范畴 $\cat$ 。首先给出如下定义 :
$\objt$ 为终对象当且仅当对任意 $\cat$ 中对象
$\obj$ 都有且仅有唯一的箭头 $\bang[\obj]:\evlbin[]\cathom{\obj}{\objt}$ :$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\obj[1]} & {\evlcry[]{\evlcrytxt{\Di{\cat}} \obj} {\obj[1]}} \ar[r]^{\quad\id[\obj]} & {\obj} \ar@{->}@`{[]+/u+3pc/,[ll]+/u+3pc/}[ll]_{{\evlcrytxt{\Di{\cat[①]}} \obj}} \\ {\obj} \ar@[red]@{-->}[u]^ [red]{\bang} \ar@{->}@`{[]+/d+2pc/,[r]+/d+2pc/}[r]_{{\evlcrytxt{\Di{\cat}} \obj}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{}!R*!L {\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & { \evlcry[]{\evlcrytxt{\Di{\cat}} \obj} \obj} \ar@[red]@{-->}[u]^ [red]{\id=\evlcry[]{\evlcrytxt{\Di{\cat}} \obj} {\bang}} \ar@[magenta][ur]_ [magenta]{\id} \save[].[u].[ur]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !R*!L{\small\color{ForestGreen}\cat[①]}\restore & }\end{xy}}$
$\obji$ 为始对象当且仅当对任意 $\cat$ 中对象
$\obj$ 都有且仅有唯一的箭头 $\absurd: \evlbin[]\cathom{\obj[0]}{\obj}$ :$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\obj[0]} \ar@{-->}@[red][d]_ [red]{\absurd} & {\evlcry[]{\evlcrytxt{\Di{\cat}} \obj} {\obj[0]}} \ar@[red]@{-->}[d]_ [red]{\id=\evlcry[]{\evlcrytxt{\Di{\cat}} \obj} \absurd} & {\obj} \ar@[magenta][dl]^ [magenta]{\id} \ar[l]_{\id} \ar@{->}@`{[]+/u+3pc/,[ll]+/u+3pc/}[ll]_{{\evlcrytxt{\Di{\cat[①]}} {\obj[0]}}} \\ {\obj} \ar@{->}@`{[]+/d+2pc/,[r]+/d+2pc/}[r]_{{\evlcrytxt{\Di{\cat}} \obj}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !R*!L{\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & {\evlcry[]{\evlcrytxt{\Di{\cat}} \obj} \obj} \save[].[u].[ur]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !R*!L{\small\color{ForestGreen}\cat[①]}\restore & }\end{xy}}$
注意
- $\begin{aligned}[t]\Di{\cat[①]}:{}
&\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
\cat
{\evlbin{\cathom[\catCat]}
{\cat[①]}
\cat} \\
&\,\obj\, \longmapsto
\text{常值函子}\\ \mathllap{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[①]}}\obj}:{}
&\ph{\cat\mbin{\cathom[\catCat]}{}}
{\evlbin{\cathom[\catCat]}
{\cat[①]}
\cat} \\
&\ph{\cat\mbin{\cathom[\catCat]}{}\,(}
\obj[1]\longmapsto \obj \\
&\ph{\cat\mbin{\cathom[\catCat]}{}\,(}
\arr[f]\longmapsto\id
\end{aligned}$
$\cat[①]$ 为仅含单个函子的范畴 , $\obj[1]$ 为
其中的对象 ; 仅含有单个对象的
范畴可以被等价地视作为 $\cat[①]$ 。
若范畴 $\cat$ 中真的含有 $\obji$ 和 $\objt$ 分别作为
始对象和终对象 则根据上述信息可知
形如 $\evlbin[]\cathom{\obj[1]}{\obj[1]}$ 的箭头
只有一个 , 即 $\id[{\obj[1]}]$ ;形如 $\evlbin[]\cathom{\obj[0]}{\obj[0]}$ 的箭头
只有一个 , 即 $\id[{\obj[0]}]$ ;
元素与全局元素
对任意对象 $\obj[c_1] , \obj[c_1'] , \etc$ , $\obj[c_2] ,\obj[c_2'] , \etc$ , $\obj[c_3]$
及任意映射 $\arr[i]$ 我们进行如下的规定 :
$\arr[i]$ 为 $\obj[c_2]$ 的元素当且仅当
$\evlcrytxt[]\tar{\arr[i]} = \obj[c_2]$ ;$i$ 为 $\obj[c_1]$ 的全局元素当且仅当
$\evlcrytxt[]\tar{\arr[i]} = \obj[c_1]$ 且 $\evlcrytxt[]\src{\arr[i]} = \obj[1]$$i$ 不存在仅当
$\evlcrytxt[]\tar{\arr[i]} = \obj[0]$ 。
注意
其他范畴中刚才的断言未必成立 。
02 范畴当中的箭头
沿用上一节提到的自由变量 。我们规定 :
- $\evlbin[]\cathom{\obj[c_1]}{\obj[c_2]}={}$
所有从 $\obj[c_1]$ 射向 $\obj[c_2]$ 的箭头构成的集 。
注意
上述断言仅对于局部小范畴成立 ,
其他范畴里 $\evlbin[]\cathom{\obj[c_1]}{\obj[c_2]}$ 未必构成集 。
范畴 $\cat$ 中特定的箭头可以进行复合运算 :
- $\begin{aligned}[t]\catcirc :{}& \evlbin[]{\cathom[\catSet]} {\evlbin[]{\cattimes[\catSet]} {\evlbin\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} {\evlbin\cathom {\obj[c_2]} {\obj[c_3]}}} {\evlbin\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_3]}} \\& \evlbin\cons {~~\quad\arr[i_1]\quad~~\,} {\,~~\quad\arr[i_2]\quad~} \longmapsto \evlbin\catcirc {\arr[i_1]} {\arr[i_2]} \end{aligned}$
若我们还知道箭头 $\arr[f_1]$ , $\arr[i]$ , $\arr[f_2]$ 分别属于
$\evlbin[]\cathom
{\obj[c_1']}
{\obj[c_1]}$ , $\evlbin[]\cathom
{\obj[c_1]}
{\obj[c_2]}$ , $\evlbin[]\cathom
{\obj[c_2]}
{\obj[c_2']}$ 那么便可知
- $\evlbin[]\catcirc
{\evlbin\catcirc
{\arr[f_1]}
{\arr[i]}}
{\arr[f_2]} =
\evlbin[]\catcirc
{\arr[f_1]}
{\evlbin\catcirc
{\arr[i]}
{\arr[f_2]}}$ ,
即箭头复合运算具有结合律 。
另外固定住一侧实参便可获得新的函数 :
$\begin{aligned}[t] \evlbin\catcirc {\arr[f_1]} {\wld} :{}& \evlbin[]{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat \catSet}]} {\evlbin\cathom {\obj[c_1]} {\wld}} {\evlbin\cathom {\obj[c_1']} {\wld}} \\ & \quad~~~\arr[i]\qquad \longmapsto ~~ \evlbin\catcirc {\arr[f_1]} {\arr[i]} \end{aligned}$
$\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm@R=.5cm{ {\obj[c_1]} \ar@`{[]+/r+3pc/,[drr]+/ul+3pc/}[drr] ^ (.7){\arr[i]:\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} _ (.5){}="mid1" & {} & {} \\ \ar@{}@`{[]+/dl+5pc/,[]+/ul+5pc/}[]^{\ph{\id[{\obj[c_2]}]} } & {} & {\obj[c_2]} \ar@`{[]+/ur+5pc/,[]+/dr+5pc/}[]^{\id[{\obj[c_2]}]} \\ {\obj[c_1']} \ar[uu]^{\arr[f_1]} \ar@`{[]+/r+3pc/,[urr]+/dl+3pc/}[urr] _ (.7){\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} {\arr[i]}: \evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {\obj[c_2]}} ^ (.5){}="mid2" \ar@{-->} "mid1";"mid2"^{\evlcrynat[]{\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} \wld} {\obj[c_2]}} %\save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UR*!L{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore & {} & {\vph{\obj[c_1']}} %\save[].[u].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UL*!R{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore }\end{xy}$
称作前复合 。下图有助于形象理解 :$\begin{aligned}[t] \evlbin\catcirc {\wld} {\arr[f_2]} :{}& \evlbin[]{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat \catSet}]} {\evlbin\cathom {\wld} {\obj[c_2]}} {\evlbin\cathom {\wld} {\obj[c_2']}} \\ & \quad~~~\arr[i]\qquad \longmapsto ~~~ \evlbin\catcirc {\arr[i]} {\arr[f_1]} \end{aligned}$
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm@R=.5cm{ {} & {} & {\obj[c_2]} \ar[dd]^{\arr[f_2]} \\ {\obj[c_1]} \ar@`{[]+/dl+5pc/,[]+/ul+5pc/}[]^{\id[{\obj[c_1]}]} \ar@`{[]+/ur+3pc/,[urr]+/l+3pc/}[urr] ^ (.7){\arr[i]:\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} _ (.5){}="mid1" \ar@`{[]+/dr+3pc/,[drr]+/l+3pc/}[drr] _ (.7){\evlbin\catcirc {\arr[i]} {\arr[f_2]}: \evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2']}} ^ (.5){}="mid2" & {} & {} \\ {} %\save[].[u].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UR*!L{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore & {} & {\obj[c_2']} \ar@{-->} "mid1";"mid2"^{\evlcrynat[]{\evlbin\catcirc {\wld} {\arr[f_2]}} {\obj[c_1]}} %\save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UL*!R{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore }\end{xy}}$
称作后复合 。 下图有助于形象理解 :
根据上面的定义不难得出下述结论 :
$\evlbin[]{\catcirc[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat \catSet}]} {\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} \wld~~} {~~\evlbin\catcirc \wld {\arr[f_2]}}= \evlbin[]{\catcirc[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat \catSet}]} {\evlbin\catcirc \wld {\arr[f_2]}~~} {~~\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} \wld}$
复合运算具有结合律 , 即后面提到的自然性 ;$\evlbin[]{\catcirc[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat \catSet}]} {\evlbin\catcirc \wld {\arr[i]}~~} {~~\evlbin\catcirc \wld {\arr[f_2]}}= \evlbin\catcirc \wld {\evlbin\catcirc {\arr[i]} {\arr[f_2]}}$
前复合与复合运算的关系$\evlbin[]{\catcirc[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat \catSet}]} {\evlbin\catcirc {\arr[i]} \wld~~} {~~\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} \wld}= \evlbin\catcirc {\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} {\arr[i]}} \wld$
后复合与复合运算的关系
箭头对实参的应用
范畴论里函数的应用亦可视作复合 。
假如 $\arr[a_1]$ 为 $\obj[c_1]$ 的全局元素则可规定
- $\evlcry[]{\arr[i]} {\arr[c_1]} = \evlbin[]\catcirc {\arr[c_1]} {\arr[i]}$
恒等箭头
范畴 $\cat$ 内的每个对象都有恒等映射 :
- $\begin{aligned}[t]\id[{\obj[c_1]}]:{} &\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_1]} \\ &\arr[c_1]\mapsto\arr[c_1] \end{aligned}$
如此我们便可以得出下述重要等式 :
- $\begin{aligned}[t] \evlbin[]\catcirc {\id[{\obj[c_1]}]} {\arr[i]} & =\arr[i] \\ &= \evlbin[]\catcirc {\arr[i]} {\id[{\obj[c_2]}]} \end{aligned}$
此外还可以得知
- $%\begin{aligned}[t]
\evlbin\catcirc
{\id[{\obj[c_1]}]}
{\wld} :{}%&
\evlbin[]{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
\cat
\catSet}]}
{\evlbin\cathom
{\obj[c_1]}
{\wld}}
{\evlbin\cathom
{\obj[c_1]}
{\wld}} \\
%\end{aligned}$
为恒等自然变换 , 可记成是 $\id[{\evlbin\cathom {\obj[c_1]} \wld}]$ ; - $%\begin{aligned}[t]
\evlbin\catcirc
{\wld}
{\id[{\obj[c_2]}]} :{}%&
\evlbin[]{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
\cat
\catSet}]}
{\evlbin\cathom
{\wld}
{\obj[c_2]}}
{\evlbin\cathom
{\wld}
{\obj[c_2]}}
%\end{aligned}$
为恒等自然变换 , 可记成是 $\id[{\evlbin\cathom \wld {\obj[c_2]}}]$ 。
单满态以及同构
接下来给出单 / 满态和同构的定义 。
$\arr[i]$ 为单态当且仅当对任意 $\obj[c_1']$
$\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm@R=.5cm{ {\obj[c_1]} \ar@`{[]+/r+3pc/,[drr]+/ul+3pc/}[drr] ^ (.7){\arr[i]:\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} _ (.5){}="mid1" & {} & {} \\ \ar@{}@`{[]+/dl+5pc/,[]+/ul+5pc/}[]^{\ph{\id[{\obj[c_2]}]} } & {} & {\obj[c_2]} \ar@`{[]+/ur+5pc/,[]+/dr+5pc/}[]^{\id[{\obj[c_2]}]} \\ {\obj[c_1']} \ar@<+3pt>[uu]^{\arr[f_1]} \ar@<-3pt>[uu]_{\arr[f_1']} \ar@`{[]+/r+3pc/,[urr]+/dl+3pc/}[urr] _ (.7){\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} {\arr[i]}: \evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {\obj[c_2]}} ^ (.5){}="mid2" \ar@{-->} "mid1";"mid2"^{\evlcrynat[]{\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} \wld} {\obj[c_2]}} %\save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UR*!L{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore & {} & {\vph{\obj[c_1']}} %\save[].[u].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UL*!R{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore }\end{xy}$
若有 $\arr[f_1], \arr[f_1']: \evlbin[]\cathom{\obj[c_1']}{\obj[c_1]}$ 满足 $\evlbin[]\catcirc{\arr[f_1]}{\arr[i]}=\evlbin[]\catcirc{\arr[f_1']}{\arr[i]}$
则有 $\arr[f_1]=\arr[f_1']$ 。详情见下图 :$\arr[i]$ 为满态当且仅当对任意 $\obj[c_2']$
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm@R=.5cm{ {} & {} & {\obj[c_2]} \ar@<+3pt>[dd]^{\arr[f_2]} \ar@<-3pt>[dd]_{\arr[f_2']} \\ {\obj[c_1]} \ar@`{[]+/dl+5pc/,[]+/ul+5pc/}[]^{\id[{\obj[c_1]}]} \ar@`{[]+/ur+3pc/,[urr]+/l+3pc/}[urr] ^ (.7){\arr[i]:\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} _ (.5){}="mid1" \ar@`{[]+/dr+3pc/,[drr]+/l+3pc/}[drr] _ (.7){\evlbin\catcirc {\arr[i]} {\arr[f_2]}: \evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2']}} ^ (.5){}="mid2" & {} & {} \\ {} %\save[].[u].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UR*!L{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore & {} & { \obj[c_2']} \ar@{-->} "mid1";"mid2"^{\evlcrynat[]{\evlbin\catcirc {\wld} {\arr[f_2]}} {\obj[c_1]}} %\save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UL*!R{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore }\end{xy}}$
若有 $\arr[f_2],\arr[f_2']:\evlbin[]\cathom{\obj[c_2]}{\obj[c_2']}$ 满足 $\evlbin[]\catcirc{\arr[i]}{\arr[f_2]}=\evlbin[]\catcirc{\arr[i]}{\arr[f_2']}$
则有 $\arr[f_2]=\arr[f_2']$ 。详情见下图 :$i$ 为同构当且仅当存在 $\arr[i']:\evlbin[]\cathom{\obj[c_2]}{\obj[c_1]}$
使得 $\evlbin[]\catcirc{\arr[i]}{\arr[i']}=\id[{\obj[c_1]}]$ 且 $\evlbin[]\catcirc{\arr[i']}{\arr[i]}=\id[{\obj[c_2]}]$ 。
此时 $\obj[c_1], \obj[c_2]$ 间的关系可记作 $\evlbin[]\catcong {\obj[c_1]}{\obj[c_2]}$ 。
若还知道 $\arr[i]=\arr[i_1]$ 且 $\arr[i_2]:\evlbin[]\cathom{\obj[c_2]}{\obj[c_3]}$ 则有
若 $\arr[i_1]$ , $\arr[i_2]$ 为单态 / 满态 / 同构
则 $\evlbin[]\catcirc{\arr[i_1]}{\arr[i_2]}$ 为单态 / 满态 / 同构 ;若 $\evlbin[]\catcirc{\arr[i_1]}{\arr[i_2]}$ 为同构
且 $\arr[i_1]$ , $\arr[i_2]$ 中有一个为同构
则 $\arr[i_1]$ , $\arr[i_2]$ 两者皆构成同构 。
不仅如此我们还可以得出下述结论 ：
$c_1$ 为单态 ,
由 $\bang[{\obj[c_1]}]$ 的唯一性可知 ;$\bang[{\obj[0]}]=\absurd[{\obj[1]}]$ 为同构 ,
因为 $\evlbin[]\cathom{\obj[0]}{\obj[0]}=\{\id[{\obj[0]}]\}$
并且 $\evlbin[]\cathom{\obj[1]}{\obj[1]}=\{\id[{\obj[1]}]\}$
同构与自然性
下图即为自然性对应的形象解释 。
后面会将自然性进行进一步推广 。
现提供自然变换 $\ntf[\eta_2]$ 满足自然性 —— 即对
任意 $\cat$ 中对象 $\obj , \obj[c']$ 以及
任意 $\cat$ 中映射 $\arr:\evlbin\cathom{\obj[c']}\obj$
都有 $
\evlbin[]{\catcirc[\catSet]}
{\evlbin\cathom
\arr
{\obj[c_2]}}
{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]}
{\obj[c']}} =
\evlbin[]{\catcirc[\catSet]}
{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]}
{\obj}}
{\evlbin\cathom
\arr
{\obj[c_2']}}
$
那么我们便会有下述结论 :
- $\evlbin[]\catcong
{\obj[c_2]}
{\obj[c_2']}$ 当且仅当对任意 $\cat$ 中的对象 $\obj$
$\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]}{\obj}$ 都是同构 。此时称 $\ntf[\eta_2]$ 为自然同构 。
现提供自然变换 $\ntf[\eta_1]$ 满足自然性 —— 即对
任意 $\cat$ 中对象 $\obj , \obj[c']$ 以及
任意 $\cat$ 中映射 $\arr:\evlbin[]\cathom{\obj}{\obj[c']}$
都有 $\evlbin[]{\catcirc[\catSet]}
{\evlbin\cathom
{\obj[c_1]}
{\arr}}
{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]}
{\obj[c']}} =
\evlbin[]{\catcirc[\catSet]}
{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]}
{\obj}}
{\evlbin\cathom
{\obj[c_1']}
{\arr}}
$ :
那么我们便会有下述结论 :
- $\evlbin[]\catcong
{\obj[c_1]}
{\obj[c_1']}$ 当且仅当对任意 $\cat$ 中的对象 $\obj$
$\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]}{\obj}$ 都是同构 。此时称 $\ntf[\eta_1]$ 为自然同构 。
上一页的第一条定理若用交换图表示则应为
$\qquad\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\obj\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} \ar[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]} {\obj}} \ar[d]_{\arr\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} & {\obj\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2']}}} \ar[d]^{\arr\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2']}}} \\ {\obj[c']\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} \ar[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]} {\obj[c']}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U{\small\color{ForestGreen}\cat\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}}\restore \save[].[u].[r]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D!L(4){\small\color{ForestGreen}\cat[Set]}\restore & {\obj[c']\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2']}}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U{\small\color{ForestGreen}\cat\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2']}}}\restore }\end{xy}}$
$\Rightarrow$ 易证 , $\Leftarrow$ 用到了米田技巧 将 $\obj$ 换成 $\obj[c_2]$ :
$\qquad\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\obj[c_2]\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} \ar[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]} {\obj}} \ar[d]_{\arr\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} & {\obj[c_2]\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2']}}} \ar[d]^{\arr\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2']}}} \\ {\obj[c']\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} \ar[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]} {\obj[c']}} & {\obj[c']\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2']}}} }\end{xy}} \qquad % ---- \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\id[{\obj[c_2]}]} \ar@{->}[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]} {\obj}} \ar@{->}[d]_{\arr\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} & {\bbox[LightGray]{\evlcry[]{\evlcrynat{\ntf[\eta_2]} {\obj}} {\id[{\obj[c_2]}]}}} \ar@{->}[d]^{\arr\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2']}}= \evlcrynat[]{\evlbin\catcirc {\arr} {\wld}} {\obj[c_2']}} \\ {\arr} \ar@{->}[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]} {\obj[c']}} & {\evlbin[]\catcirc{\arr}{\bbox[LightGray]{\etc}}} }\end{xy}}$为了方便就用 $\bbox[LightGray]{\etc}$ 表示 $\bbox[LightGray]{\evlcry[]{\evlcrynat{\ntf[\eta_2]}
{\obj}}
{\id[{\obj[c_2]}]}}$ 。由上图
知 $\evlcry[]{\evlcrynat{\ntf[\eta_2]}
{\obj[c']}}\arr=\evlbin\catcirc
\arr
{\bbox[LightGray]{\etc}}$ 右图底部和右侧箭头 ,
故 $\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]}
{\obj[c']} = \bbox[LightBlue]{\evlbin[]\cathom
{\obj[c']}
{{}}}\bbox[LightGray]{\etc}$ 。注意到箭头 $\arr:\evlbin[]\cathom{\obj[c']}{\obj}$ ;
而 $\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]}
{\obj[c']} = \bbox[LightBlue]{\evlbin[]\cathom
{\obj[c']}
{{}}}\bbox[LightGray]{\etc}=\evlcrynat[]{\evlbin\catcirc
{\wld}
{\bbox[LightGray]{\etc}}}
{\obj[c']}$ 始终是同构
故 $\bbox[LightGray]{\etc}:\evlbin[]\cathom{\obj[c_2]}{\obj[c_2']}~$也是同构 。
高亮部分省去了部分推理过程 ,
具体在米田嵌入处会详细介绍 。
上一页的第二条定理若用交换图表示则应为
$\qquad\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\obj} \ar[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]} {\obj}} \ar[d]_{\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\arr} & {\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {{}}}\obj} \ar[d]^{\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {{}}}\arr} \\ {\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\obj[c']} \ar[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]} {\obj[c']}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\small\color{ForestGreen}\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\cat}\restore \save[].[u].[r]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D!L(4){\small\color{ForestGreen}\cat[Set]}\restore & {\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {{}}}\obj[c']} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\small\color{ForestGreen}\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {{}}}\cat}\restore }\end{xy}}$
$\Rightarrow$ 易证 , $\Leftarrow$ 用到了米田技巧 将 $\obj$ 换成 $\obj[c_1]$ :
$\qquad\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\obj[c_1]} \ar[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]} {\obj}} \ar[d]_{\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\arr} & {\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {{}}}\obj[c_1]} \ar[d]^{\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {{}}}\arr} \\ {\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\obj[c']} \ar[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]} {\obj[c']}} & {\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {{}}}\obj[c']} }\end{xy}} \qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\id[{\obj[c_1]}]} \ar@{->}[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]} {\obj}} \ar@{->}[d]_{\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\arr} & {\bbox[LightGray]{\evlcry[]{\evlcrynat{\ntf[\eta_1]} {\obj}} {\id[{\obj[c_1]}]}}} \ar@{->}[d]^{\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {{}}}\arr= \evlcrynat[]{\evlbin\catcirc {\wld} {\arr}} {\obj[c_1']}} \\ {\arr} \ar@{->}[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]} {\obj[c']}} & {\evlbin[]\catcirc{\bbox[LightGray]{\etc}}{\arr}} }\end{xy}}$为了方便就用 $\bbox[LightGray]{\etc}$ 表示 $\bbox[LightGray]{\evlcry[]{\evlcrynat{\ntf[\eta_1]}
{\obj}}
{\id[{\obj[c_1]}]}}$ 。由上图
知 $\evlcry[]{\evlcrynat{\ntf[\eta_1]}
{\obj[c']}}{\arr}=\evlbin\catcirc
{\bbox[LightGray]{\etc}}
\arr$ 右图底部和右侧箭头 ,
故 $\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]}
{\obj[c']}=\bbox[LightGray]{\etc}\bbox[LightBlue]{\evlbin[]\cathom
{{}}
{\obj[c']}}$ 。 注意到箭头 $\arr:\evlbin[]\cathom{\obj}{\obj[c']}$ ;
而 $\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]}
{\obj[c']}=\bbox[LightGray]{\etc}\bbox[LightBlue]{\evlbin[]\cathom
{{}}
{\obj[c']}}=\evlcrynat[]{{\evlbin\catcirc
{\bbox[LightGray]{\etc}}
\wld}}
{\obj[c']}$ 始终是同构
故 $\bbox[LightGray]{\etc}:\evlbin[]\cathom
{\obj[c_1]}
{\obj[c_1']}$ 也是同构 。
高亮部分省去了部分推理过程 ,
具体在米田嵌入处会详细介绍 。
04-05 类型的和与积
泛性质
默认函子 $\cattimes : \evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\evlbin{\cattimes[\catCat]} \cat \cat} \cat$ 在范畴 $\cat$ 中有如下性质 :
$\evlbin[]{\catcong[\catSet]} {\evlbin[]{\cattimes[\catSet]} {\evlbin\cathom \obj {\obj[c_1]}} {\evlbin\cathom \obj {\obj[c_2]}}} {\evlbin[]\cathom \obj {\evlbin\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}}$
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} & {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}{\evlbin\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}} \ar[r]^{\quad \ntf[\pi]=\evlbin[]\cons {\arr[\pi_1]} {\arr[\pi_2]}} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \ar@{->}@`{[]+/u+3pc/,[ll]+/u+3pc/}[ll]_{\cattimes} \\ {\obj[c]} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\arr} \ar@{->}@`{[]+/d+2pc/,[r]+/d+2pc/}[r]_{\Di{\cat[②]}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !R*!L{\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \obj} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}\arr} \ar@[magenta][ur]_[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\arr[f_2]}} \save[].[u].[ur]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !R*!L{\small\color{ForestGreen} \evlbin[]{\cattimes[\catCat]} \cat \cat}\restore & }\end{xy}} \qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\obj[c_1]} \save[].[rr]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{}!UR*!L {\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\fct[I]} {\cat[②]}}\restore & & {\obj[c_2]} \\ & {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \ar[ul]_{\arr[\pi_1]} \ar[ur]^{\arr[\pi_2]} & \\ & {\obj[c]} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\arr} \ar@[magenta]@`{[]+/l+5pc/,[uul]+/d+2pc/}[uul]^[magenta]{\arr[f_1]} \ar@[magenta]@`{[]+/r+5pc/,[uur]+/d+2pc/}[uur]_[magenta]{\arr[f_2]} \save[]*+<5pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{}!DR*!L {\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\evlcrytxt{\Di{\cat[②]}} \obj} {\cat[②]}}\restore & }\end{xy}}$
—— $\obj$ 为任意 $\cat$ 中对象。此即为积的
泛性质 , 亦为指数对乘法的分配律 。
默认函子 $\catplus: \evlbin[]{\cathom[\catCat]}{\evlbin{\cattimes[\catCat]}\cat\cat}\cat$ 在范畴 $\cat$ 中有如下性质 :
$\evlbin[]{\catcong[\catSet]} {\evlbin[]{\cattimes[\catSet]} {\evlbin\cathom {\obj[c_1]} {\obj}} {\evlbin\cathom {\obj[c_2]} {\obj}}} {\evlbin[]\cathom {\evlbin\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \obj}$
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlbin[]\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \ar@{-->}@[red][d]_[red]{\arr} & {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}\arr} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \ar@[magenta][dl]^[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\arr[f_2]}} \ar[l]_{\quad\evlbin[]\cons {\arr[\epsilon_L]} {\arr[\epsilon_R]} =\ntf[\epsilon]} \ar@{->}@`{[]+/u+3pc/,[ll]+/u+3pc/}[ll]_{\catplus} \\ {\obj[c]} \ar@{->}@`{[]+/d+2pc/,[r]+/d+2pc/}[r]_{\Di{\cat[②]}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{}!R*!L {\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\obj[c]}} \save[].[u].[ur]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{}!R*!L {\small\color{ForestGreen}\evlbin[]{\cattimes[\catCat]} \cat \cat}\restore & }\end{xy}} \qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\obj[c_1]} \ar[dr]^{\arr[\epsilon_L]} \ar@[magenta]@`{[]+/d+2pc/,[ddr]+/l+5pc/}[ddr]_[magenta]{\arr[f_1]} \save[].[rr]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UR*!L{\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\fct[I]}{\cat[②]}}\restore & & {\obj[c_2]} \ar[dl]_{\arr[\epsilon_R]} \ar@[magenta]@`{[]+/d+2pc/,[ddl]+/r+5pc/}[ddl]^[magenta]{\arr[f_2]} \\ & {\evlbin[]\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\arr} & \\ & {\obj} \save[]*+<5pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{}!DR*!L {\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\evlcrytxt{\Di{\cat[②]}} \obj} {\cat[②]}}\restore & }\end{xy}}$
—— $\obj$ 为任意 $\cat$ 中对象。此即为和的
泛性质 , 亦为指数对加法的分配律 。
注意
在上面的插图中
$\begin{aligned}[t]\Di{\cat[②]}:{} &\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat {\evlbin{\cattimes[\catCat]} \cat \cat} \\ &\,\obj\, \longmapsto \evlbin\cons \obj \obj \end{aligned}$ 为对角函子满足
$\begin{aligned}[t]\Di{\cat[②]}:{} &\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat {\evlbin{\cathom[\catCat]} {\cat[②]} \cat} \\ &\,\obj\, \longmapsto \text{常值函子}\\ \mathllap{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}\obj}:{} &\ph{\cat\mbin{\cathom[\catCat]}{}} {\evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\cat[②]} \cat} \\ &\ph{\cat\mbin{\cathom[\catCat]}{}\,} \obj[1]\longmapsto \obj \\ &\ph{\cat\mbin{\cathom[\catCat]}{}\,} \obj[2]\longmapsto \obj \\ &\ph{\cat\mbin{\cathom[\catCat]}{}\,} \arr[f]\longmapsto\id \end{aligned}$
即为对角函子的第二种等价的定义 。
$\cat[②]$ 为仅含两个对象的范畴 , 在此则
作为一个指标范畴 。$\obj[1]$ 和 $\obj[2]$ 分别为
其中的对象 。$\begin{aligned}[t]\fct[I]:{} & \evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\cat[②]} \cat \\ & \,\obj[1] \longmapsto \obj[c_1] \\ & \,\obj[2] \longmapsto \obj[c_2] \end{aligned}$ 为函子 , 满足
不难看出上图中
$\begin{aligned}[t]\ntf[\pi]:{} &\evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\fct[I]} {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}} \\[+5pt]\ntf[\epsilon]:{} &\evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}} {\fct[I]} \end{aligned}$
都构成自然变换
函子性
如何证明 $\cattimes$ 构成函子呢 ? 请看
$\cattimes: \evlbin\cons {\id[{\obj[c_1']}]} {\id[{\obj[c_2']}]}\longmapsto \id[{\evlbin\cattimes {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}}] $
—— 即函子 $\cattimes$ 保持恒等箭头 ;$\cattimes: \evlbin\cons {\evlbin[]\catcirc {\arr[f_1']} {\arr[f_1^{}]}} {\evlbin[]\catcirc {\arr[f_2']} {\arr[f_2^{}]}} \longmapsto {\evlbin\catcirc {\arr[f']} {\arr}}$
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} & {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}} \ar[r]^{\quad\ntf[\pi]} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \\ {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\arr} & {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\cattimes {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}}} \ar[r]^{\quad\ntf[\pi]} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}\arr} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}} \ar@[magenta][u]_[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\arr[f_2]}} \\ {\obj[c_1'']\cattimes \obj[c_2'']} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\arr[f']} \save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !R*!L{\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\cattimes {\obj[c_1'']} {\obj[c_2'']}}} \ar[r]^{\quad\ntf[\pi]} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}{\arr[f']}} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1'']} {\obj[c_2'']}} \ar@[magenta][u]_[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1']} {\arr[f_2']}} \save[].[uul]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{}!R*!L {\small\color{ForestGreen}\evlbin[]{\cattimes[\catCat]} \cat \cat}\restore }\end{xy}} \qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\obj[c_1]} & {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \ar[l]_{\arr[\pi_1]} \ar[r]^{\arr[\pi_2]} & {\obj[c_2]} \\ {\obj[c_1']} \ar@[magenta][u]^[magenta]{\arr[f_1]} & {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}} \ar[l]_{\arr[\pi_1]} \ar[r]^{\arr[\pi_2]} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\arr} & {\obj[c_2']} \ar@[magenta][u]_[magenta]{\arr[f_2]} \\ {\obj[c_1'']} \ar@[magenta][u]^[magenta]{\arr[f_1']} \save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UR*!L{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore & {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1'']} {\obj[c_2'']}} \ar[l]_{\arr[\pi_1]} \ar[r]^{\arr[\pi_2]} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\arr[f']} \save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore& {\obj[c_2'']} \ar@[magenta][u]_[magenta]{\arr[f_2']} \save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UL*!R{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore }\end{xy}}$
—— 即函子 $\cattimes$ 保持箭头复合运算 。
下图有助于形象理解证明的过程 :
另外我们规定 $\cattimes$ 在实参分别为
箭头和对象时的输出结果如下 :
- $\begin{aligned}[t] \cattimes:{} &\evlbin\cons {\arr[f_1]} {\obj[c_2]} \longmapsto \evlbin\cattimes {\arr[f_1]} {\id[{\obj[c_2]}]} \\\cattimes:{} &\evlbin\cons {\obj[c_1]} {\arr[f_2]} \longmapsto \evlbin\cattimes {\id[{\obj[c_1]}]} {\arr[f_2]} \end{aligned}$
如何证明 $\catplus$ 构成函子呢 ? 请看
$\catplus: \evlbin\cons {\id[{\obj[c_1]}]} {\id[{\obj[c_2]}]}\longmapsto \id[{\evlbin\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}]$
—— 即函子 $\catplus$ 保持恒等箭头 ;$\catplus: \evlbin\cons {\evlbin[]\catcirc {\arr[f_1^{}]} {\arr[f_1']}} {\evlbin[]\catcirc {\arr[f_2^{}]} {\arr[f_2']}} \longmapsto {\evlbin\catcirc {\arr} {\arr[f']}}$
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlbin[]\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\arr} & {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}\arr} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \ar[l]_{\quad\ntf[\epsilon]} \ar@[magenta][d]^[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\arr[f_2]}} \\ {\evlbin[]\catplus {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\arr[f']} & {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\catplus {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}{\arr[f']}} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}} \ar[l]_{\quad\ntf[\epsilon]} \ar@[magenta][d]^[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1']} {\arr[f_2']}} \\ {\evlbin[]\catplus {\obj[c_1'']} {\obj[c_2'']}} \save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !R*!L{\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\catplus {\obj[c_1'']} {\obj[c_2'']}}} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1'']} {\obj[c_2'']}} \ar[l]_{\quad\ntf[\epsilon]} \save[].[uul]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{}!R*!L {\small\color{ForestGreen}\evlbin[]{\cattimes[\catCat]} \cat \cat}\restore }\end{xy}}\qquad\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\obj[c_1]} \ar[r]^{\arr[\epsilon_R]} \ar@[magenta][d]_[magenta]{\arr[f_1]} & {\evlbin\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\arr} & {\obj[c_2]} \ar[l]_{\arr[\epsilon_R]} \ar@[magenta][d]^[magenta]{\arr[f_2]} \\ {\obj[c_1']} \ar[r]^{\epsilon_L} \ar@[magenta][d]_[magenta]{\arr[f_1']} & {\evlbin\catplus {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\arr[f']} & {\obj[c_2']} \ar[l]_{\arr[\epsilon_R]} \ar@[magenta][d]^[magenta]{\arr[f_2']} \\ {\obj[c_1'']} \ar[r]^{\arr[\epsilon_R]} \save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UR*!L{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore & {\evlbin\catplus {\obj[c_1'']} {\obj[c_2'']}} \save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore & {\obj[c_2'']} \ar[l]_{\arr[\epsilon_R]} \save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UL*!R{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore }\end{xy}}$
—— 即函子 $\cattimes$ 保持箭头复合运算 。
下图有助于形象理解证明的过程 :
另外我们规定 $\catplus$ 在实参分别为
箭头和对象时的输出结果如下 :
- $\begin{aligned}[t] \catplus:{} &\evlbin\cons {\arr[f_1]} {\obj[c_2]} \longmapsto \evlbin\catplus {\arr[f_1]} {\id[{\obj[c_2]}]} \\\catplus:{} &\evlbin\cons {\obj[c_1]} {\arr[f_2]} \longmapsto \evlbin\catplus {\id[{\obj[c_1]}]} {\arr[f_2]} \end{aligned}$
运算性质
对于函子 $\cattimes$ 我们不难得知
$\evlbin[]\catcong {\evlbin[]\catcong {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[1]}} {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[1]}}} {\obj[c_1]}$ —— 乘法具有幺元 $\obj[1]$ 。
下图有助于理解证明目标 , 即 $\color{magenta}\evlbin[] \cons{\arr[f_1]} \bang$ 能唯一决定 $\color{red}\arr$ 和 $\color{red}\arr[f']$ 。$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}{\evlbin\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[1]}}} \ar[r]^{\quad\ntf[\pi]=\evlbin[]\cons {\arr[\pi_1]} {\arr[\pi_2]}} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\obj[1]}} \\ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \obj} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}\arr} \ar@[magenta][ur]_[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} \bang} & }\end{xy}} \qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\obj[c_1]}} \ar[r]^{\evlbin[]\cons {\id[{\obj[c_1]}]} {\bang[{\obj[c_1]}]}} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\obj[1]}} \\ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \obj} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\arr[f']}} \ar@[magenta][ur]_[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\bang}} & }\end{xy}}$
$\evlbin[]\catcong {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_2]} {\obj[c_1]}}$ —— 乘法具有交换律 。
下图有助于理解证明目标 , 即 $\color{magenta}\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\arr[f_2]}$ 能唯一决定 $\color{red}\arr$ 和 $\color{red}\arr[f']$ 。$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}} \ar[r]^{\quad\ntf[\pi]=\evlbin[]\cons {\arr[\pi_1]} {\arr[\pi_2]}} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \\ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \obj} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \arr} \ar@[magenta][ur]_[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\arr[f_2]}} & }\end{xy}} \qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}{\evlbin\cattimes {\obj[c_2]} {\obj[c_1]}}} \ar[r]^{\quad\ntf[\pi]=\evlbin[]\cons {\arr[\pi_1]} {\arr[\pi_2]}} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_2]} {\obj[c_1]}} \\ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \obj} \ar@[red]@{-->}[u]^{\color{red}\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\arr[f']}} \ar@[magenta][ur]_[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_2]} {\arr[f_1]}} & }\end{xy}}$
$\evlbin[]\catcong {\evlbin[]\cattimes {\evlbin\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} {\obj[c_3]}} {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1]} {\evlbin\cattimes {\obj[c_2]} {\obj[c_3]}}}$ —— 乘法具有结合律 。
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2.5cm{ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\cattimes {\evlbin\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} {\obj[c_3]}}} \ar[r]^{\quad\ntf[\pi]} & {\evlbin[]\cons {\evlbin\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} {\obj[c_3]}} \ar[r]^{\evlbin[]\cons {\ntf[\pi]} {\id[{\obj[c_3]}]}} & {\evlbin[]\cons {\evlbin\cons {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} {\obj[c_3]}} \\ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\obj[c_3]}} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \arr} \ar@[magenta]@{..>}[ur]|[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[j]} {\arr[f_3]}} \ar@[magenta][urr]_[magenta]{\evlbin[]\cons {\evlbin\cons {\arr[f_1]} {\arr[f_2]}} {\arr[f_3]}} & }\end{xy}} \qquad \mathrlap{ \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2.5cm{ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}{ \evlbin\cattimes {\obj[c_1]} {\evlbin\cattimes {\obj[c_2]} {\obj[c_3]}}}} \ar[r]^{\quad\ntf[\pi]} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\evlbin\cattimes {\obj[c_2]} {\obj[c_3]}}} \ar[r]^{\evlbin[]\cons {\id[{\obj[c_1]}]} {\ntf[\pi]}} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\evlbin\cons {\obj[c_2]} {\obj[c_3]}}} \\ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\obj[c_3]}} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \arr} \ar@[magenta]@{..>}[ur]|[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\arr[j]}} \ar@[magenta][urr]_[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\evlbin\cons {\arr[f_2]} {\arr[f_3]}}} & }\end{xy}} }$
下图有助于理解证明目标 , 即 $\color{magenta} {\evlbin[]\cons {\evlbin\cons {\arr[f_1]} {\arr[f_2]}} {\arr[f_3]}}$ 唯一决定 $\color{red}\arr$ 和 $\color{red}\arr[f']$ 。
对于函子 $\catplus$ 我们不难得知
$\evlbin[]\catcong {\evlbin[]\catcong {\evlbin[]\catplus {\obj[c_1]} {\obj[0]}} {\evlbin[]\catplus {\obj[c_1]} {\obj[1]}}} {\obj[c_1]}$ —— 加法具有幺元 $\obj[0]$ 。
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\catplus {\obj[c_1]} {\obj[0]}}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \arr} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\obj[0]}} \ar@[magenta][dl]^[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\absurd[{\obj}]}} \ar[l]_{\quad\evlbin[]\cons {\arr[\epsilon_L]} {\arr[\epsilon_R]}= \ntf[\epsilon]} \\ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}\obj} }\end{xy}}\qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\obj[c_1]}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\arr[f']}} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\obj[0]}} \ar@[magenta][dl]^[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\absurd[{\obj}]}} \ar[l]_{\quad\evlbin[]\cons {\arr[\epsilon_L]} {\arr[\epsilon_R]}= \ntf[\epsilon]} \\ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}\obj} }\end{xy}}$
下图有助于理解证明目标 , 即 $\color{magenta}\evlbin[]\cons{\arr[f_1]}\absurd$ 能唯一决定 $\color{red}\arr$ 和 $\color{red}\arr[f']$ 。$\evlbin[]\catcong {\evlbin[]\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} {\evlbin[]\catplus {\obj[c_2]} {\obj[c_1]}}$ —— 加法具有交换律 。
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \arr} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \ar@[magenta][dl]^[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\arr[f_2]}} \ar[l]_{\quad\evlbin[]\cons {\arr[\epsilon_L]} {\arr[\epsilon_R]}= \ntf[\epsilon]} \\ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \obj} }\end{xy}} \qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\catplus {\obj[c_2]} {\obj[c_1]}}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\arr[f']}} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_2]} {\obj[c_1]}} \ar@[magenta][dl]^[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_2]} {\arr[f_1]}} \ar[l]_{\quad\evlbin[]\cons {\arr[\epsilon_L]} {\arr[\epsilon_R]}= \ntf[\epsilon]} \\ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \obj} }\end{xy}}$
下图有助于理解证明目标 , 即 $\color{magenta}\evlbin[] \cons{\arr[f_1]} {\arr[f_2]}$ 能唯一决定 $\color{red}\arr$ 和 $\color{red}\arr[f']$ 。$\evlbin[]\catcong {\evlbin[]\catplus {\evlbin\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} {\obj[c_3]}} {\evlbin[]\catplus {\obj[c_1]} {\evlbin\catplus {\obj[c_2]} {\obj[c_3]}}}$ —— 加法具有结合律 。
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2.5cm{ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} {\evlbin\catplus {\evlbin\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} {\obj[c_3]}}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \arr} & {\evlbin[]\cons {\evlbin\catplus {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} {\obj[c_3]}} \ar@[magenta]@{..>}[dl]|[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[j]} {\arr[f_3]}} \ar[l]_{\quad\ntf[\epsilon]} & {\evlbin[]\cons {\evlbin\cons {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} {\obj[c_3]}} \ar[l]_{\evlbin[]\cons {\ntf[\epsilon]} {\id[{\obj[c_3]}]}} \ar@[magenta][dll]^[magenta]{\evlbin[]\cons {\evlbin\cons {\arr[f_1]} {\arr[f_2]}} {\arr[f_3]}} \\ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}\obj} }\end{xy}} \qquad \mathrlap{ \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2.5cm{ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}{ \evlbin\catplus {\obj[c_1]} {\evlbin\catplus {\obj[c_2]} {\obj[c_3]}}}} \ar@[red]@{-->}[d]_[red]{\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}} \arr} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\evlbin\catplus {\obj[c_2]} {\obj[c_3]}}} \ar@[magenta]@{..>}[dl]|[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\arr[j]}} \ar[l]_{\quad\ntf[\epsilon]} & {\evlbin[]\cons {\obj[c_1]} {\evlbin\cons {\obj[c_2]} {\obj[c_3]}}} \ar[l]_{\evlbin[]\cons {\ntf[\epsilon]} {\id[{\obj[c_3]}]}} \ar@[magenta][dll]^[magenta]{\evlbin[]\cons {\arr[f_1]} {\evlbin\cons {\arr[f_2]} {\arr[f_3]}}} \\ {\evlcrytxt[]{\Di{\cat[②]}}\obj} }\end{xy}} }$
下图有助于理解证明目标 , 即 $\color{magenta} {\evlbin[]\cons {\evlbin\cons {\arr[f_1]} {\arr[f_2]}} {\arr[f_3]}}$ 唯一决定 $\color{red}\arr$ 和 $\color{red}\arr[f']$ 。
幺半范畴
像刚才这样对象运算具有单位元以及结合律的范畴称作幺半范畴 ;
若上述范畴还具有交换律则称作对称幺半范畴 ;
很明显我们的范畴 $\cat$ 是典型的对称幺半范畴 。
幺半群
什么是幺半群呢 ? 有两种定义方式 :
幺半群 $\cat[M]$ 是个范畴 , 其只含一个对象 $\obj[m]$ ;
其中的复合运算正好有单位元以及结合律 。对象 $\obj[m]$ 属于幺半范畴 $\cat$ , 满足下述交换图 :
$\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlbin[]\cattimes {\obj[1]} {\obj[m]}} \ar[r]^{\evlbin[]\catotimes {\arr[u]} {\id[{\obj[m]}]}} \ar[dr]_{\mathllap{\text{左单位元}}~~~\arr[u_l]} & {\evlbin[]\cattimes {\obj[m]} {\obj[m]}} \ar[d]_ (.4){\arr[p]}^ (.4){\mathrlap{\text{运算结果唯一}}} & {\evlbin[]\cattimes {\obj[m]} {\obj[1]}} \ar[l]_{\evlbin[]\catotimes {\id[{\obj[m]}]} {\arr[u]}} \ar[dl]^{\arr[u_r]\mathrlap{\text{ 右单位元}}} \\ & {\obj[m]} }\end{xy}$
$\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlbin[]\cattimes {\evlbin\cattimes {\obj[m]} {\obj[m]}} {\obj[m]}} \ar[rr]^{\text{结合律 }\arr[a]} \ar[d]_{\mathllap{\text{先算左侧括号 }}~~~~\evlbin[]\catotimes {\arr[p]} {\id[{\obj[m]}]}} & & {\evlbin[]\cattimes {\obj[m]} {\evlbin\cattimes {\obj[m]} {\obj[m]}}} \ar[d]^{\evlbin[]\catotimes {\id[{\obj[m]}]} {\arr[p]} \mathrlap{\text{ 先算右侧括号}}} \\ {\evlbin[]\cattimes {\obj[m]} {\obj[m]}} \ar[r]_ (.75){\mathllap{\text{再算最终结果 }}~~~\arr[p]} & {\obj[m]} & {\evlbin[]\cattimes {\obj[m]} {\obj[m]}} \ar[l]^ (.75){\arr[p]\mathrlap{~果结终最算再}} }\end{xy}$
其中
$\arr[u]_{\ph l}:\evlbin[]\cathom{\obj[1]}{\obj[m]}$ 其实就是 $\obj[m]$ 里面的幺元
$\arr[u_l]:\evlbin[]\cathom{\evlbin\cattimes{\obj[1]}{\obj[m]}}{\obj[m]}$ 表示 $\arr[u]$ 构成左幺元
$\arr[u_r]:\evlbin[]\cathom{\evlbin\cattimes{\obj[m]}{\obj[1]}}{\obj[m]}$ 表示 $\arr[u]$ 构成右幺元
$\arr[p]_{\ph r}:\evlbin[]\cathom{\evlbin\cattimes{\obj[m]}{\obj[m]}}{\obj[m]}$ 即为 $\obj[m]$ 中的二元运算
$\arr[a]_{\ph l}:\evlbin[]\cathom {\evlbin[]\cattimes {\evlbin\cattimes {\obj[m]} {\obj[m]}} {\obj[m]}} {\evlbin[]\cattimes {\obj[m]} {\evlbin\cattimes {\obj[m]} {\obj[m]}}}$ 表示 $\obj[m]$ 具有结合律
06 类型的幂
泛性质
默认函子 $\cathom:\evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\evlbin{\cattimes[\catCat]} \cat \cat} \cat$ 在范畴 $\cat$ 中有下述性质 :
$\evlbin[]{\catcong[\catSet]} {\evlbin[]{\catcong[\catSet]} {\evlbin[]\cathom {\evlbin\cattimes {\obj[c_1]} \obj} {\obj[c_2]}} {\evlbin[]\cathom \obj {\evlbin\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}}} {\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\evlbin\cathom \obj {\obj[c_2]}}}$
—— $\obj$ 为任意 $\cat$ 中对象 。此即为幂的泛性质 ,
亦表示了指数加乘法之间的运算关系 。$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} & {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1]} {\evlbin\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}} \ar[r]^{\qquad\ntf[\alpha]} & {\obj[c_2]} \ar@{->}@`{[]+/u+3pc/,[ll]+/u+3pc/}[ll]_{\evlbin\cathom {\obj[c_1]} \wld} \\ {\obj[c]} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\arr[f]} \ar@{->}@`{[]+/d+2pc/,[r]+/d+2pc/}[r]_{\evlbin\cattimes {\obj[c_1]} \wld} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !R*!L{\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1]} {\obj[c]}} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\evlbin[]\catotimes {\id[{\obj[c_1]}]} {\arr}} \ar@[magenta][ur]_[magenta]{\arr[g]} \save[].[u].[ur]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !R*!L{\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & }\end{xy}}$
函子性
如何证明 $\cathom$ 构成函子呢 ? 请看
$\cathom:\evlbin\cons {\id[{\obj[c_1]}]} {\id[{\obj[c_2]}]} \longmapsto \id[{\evlbin\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}]$
—— 即函子 $\cathom$ 能保持恒等箭头 ;$\cathom: \evlbin\cons {\evlbin[]\catcirc {\arr[f_1']} {\arr[f_1]}} {\evlbin[]\catcirc {\arr[f_2]} {\arr[f_2']}} \longmapsto \evlbin\catcirc \arr {\arr[f']}$
$\begin{array}{l} \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlbin[]\cathom {\obj[c_1'']} {\obj[c_2'']}} & {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1'']} {\evlbin\cathom {\obj[c_1'']} {\obj[c_2'']}}} \ar[r]^{\qquad\ntf[\alpha]} & {\obj[c_2'']} \\ {\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\arr[f']} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !R*!L{\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1'']} {\evlbin\cathom {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}}} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\evlbin[]\catotimes {\id[{\obj[c_1'']}]} {\arr[f']}} \ar@[magenta][ur]_[magenta]{\arr[g']} \save[].[u].[ur]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !R*!L{\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & }\end{xy}} \\[-5pt] \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ {\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}} & {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1']} {\evlbin\cathom {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}}} \ar[r]^{\qquad\ntf[\alpha]} & {\obj[c_2']} \\ {\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\arr} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !R*!L{\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & {\evlbin[]\cattimes {\obj[c_1']} {\evlbin\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}}} \ar@[red]@{-->}[u]^[red]{\evlbin[]\catotimes {\id[{\obj[c_1']}]} {\arr}} \ar@[magenta][ur]_[magenta]{\arr[g]} \save[].[u].[ur]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !R*!L{\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & }\end{xy}} \end{array}\qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm@!R=1.5cm{ {\obj[c_1]} \ar[rr]^ (.75){\arr[i]: \evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} & {} \ar@{-->}[d]_{\arr=\evlbin\cathom {\arr[f_1]} {\arr[f_2]}} & {\obj[c_2]} \ar[d]^{\arr[f_2]} \\ {\obj[c_1']} \ar[u]^{\arr[f_1]} \ar[rr]^ (.75){\arr[i']: \evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {\obj[c_2']}} & {} \ar@{-->}[d]_{\arr[f']=\evlbin\cathom {\arr[f_1']} {\arr[f_2']}} & {\obj[c_2']} \ar[d]^{\arr[f_2']} \\ {\obj[c_1'']} \ar[u]^{\arr[f_1']} \ar[rr]^ (.75){\arr[i'']: \evlbin[]\cathom {\obj[c_1'']} {\obj[c_2'']}} \save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UR*!L{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore & {} & {\obj[c_2'']} \save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UL*!R{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore \\ }\end{xy}}$
—— 即函子 $\cathom$ 保持箭头复合运算 。
下图有助于形象理解证明过程 :
下图自上到下分别为图 1 和图 2 , 后面会用到 。
$\hspace{177pt} \begin{xy}\xymatrix@!C=2cm@R=.5cm{ {\obj[c_1]} \ar@`{[]+/r+3pc/,[drr]+/ul+3pc/}[drr] ^ (.7){\arr[i]:\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} _ (.5){}="mid1" & {} & {} \\ \ar@{}@`{[]+/dl+5pc/,[]+/ul+5pc/}[]^{\ph{\id[{\obj[c_2]}]} } & {} & {\obj[c_2]} \ar@`{[]+/ur+5pc/,[]+/dr+5pc/}[]^{\id[{\obj[c_2]}]} \\ {\obj[c_1']} \ar[uu]^{\arr[f_1]} \ar@`{[]+/r+3pc/,[urr]+/dl+3pc/}[urr] _ (.7){\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} {\arr[i]}: \evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {\obj[c_2]}} ^ (.5){}="mid2" \ar@{-->} "mid1";"mid2"^{\evlcrynat[]{\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} \wld} {\obj[c_2]}} \save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UR*!L{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore & &\vph{\obj[c_1']} \save[].[u].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UL*!R{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore }\end{xy}$ $\hspace{177pt} \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm@R=.5cm{ {} & {} & {\obj[c_2]} \ar[dd]^{\arr[f_2]} \\ {\obj[c_1]} \ar@`{[]+/dl+5pc/,[]+/ul+5pc/}[]^{\id[{\obj[c_1]}]} \ar@`{[]+/ur+3pc/,[urr]+/l+3pc/}[urr] ^ (.7){\arr[i]:\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}} _ (.5){}="mid1" \ar@`{[]+/dr+3pc/,[drr]+/l+3pc/}[drr] _ (.7){\evlbin\catcirc {\arr[i]} {\arr[f_2]}: \evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2']}} ^ (.5){}="mid2" & {} & {} \\ {} \save[].[u].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UR*!L{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore & {} & {\obj[c_2']} \ar@{-->} "mid1";"mid2"^{\evlcrynat[]{\evlbin\catcirc {\wld} {\arr[f_2]}} {\obj[c_1]}} \save[].[uu]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !UL*!R{\smash{\small\color{ForestGreen}\cat}}\restore }\end{xy}}$范畴 $\cat$ 内任意两对象 $\obj[c_1]$ 和 $\obj[c_2]$ 间的箭头构成一个集合 $\evlbin[]\cathom{\obj[c_1]}{\obj[c_2]}$ ,
说明 $\cathom$ 只能将两个对象打到一个集合 ; 下面使 $\cathom$ 升级为函子 :
若还知道箭头 $\arr[f_1]:\evlbin[]\cathom{\obj[c_1']}{\obj[c_1]}$ 以及 $\arr[f_2]:\evlbin[]\cathom{\obj[c_2]}{\obj[c_2']}$ , 则规定
$\evlbin\cathom {\wld} {\obj[c_2]}: \evlbin[]{\cathom[\catCat]} {{\evlcrynat[]\op \cat} \cancel{\!\!\mbin{\cattimes[\catCat]}\cat}} \catSet$ 为函子且
$\evlbin\cathom {\wld} {\obj[c_2]}: \obj\longmapsto \evlbin\cathom {\obj} {\obj[c_2]}$ 且对任意 $\arr[f]:\evlbin[]\cathom{\obj[c']}{\obj[c]}$ 有
$\evlbin\cathom {\wld} {\obj[c_2]}: \arr\longmapsto \evlbin\cathom {\arr} {\obj[c_2]}= \evlbin\cathom {\arr} {\id[{\obj[c_2]}]}= \evlcrynat[]{\evlbin\catcirc {\arr} \wld} {\obj[c_2]}$图 1 有助于理解 。
$\evlbin\cathom {\wld} {\arr[f_2]}: \evlbin[]{\cathom[\catCat]} {{\evlcrynat[]\op \cat} \cancel{\!\!\mbin{\cattimes[\catCat]}\cat}} \catSet$ ,
$\evlbin\cathom {\wld} {\arr[f_2]}: \obj\longmapsto \evlbin\cathom {\obj} {\arr[f_2]}= \evlbin\cathom {\id[{\obj}]} {\arr[f_2]}= \evlcrynat[]{\evlbin\catcirc \wld {\arr[f_2]}} {\obj[c_2]}$ 且对任意 $\arr[f]:\evlbin[]\cathom{\obj[c']}{\obj[c]}$ 有
$\evlbin\cathom {\wld} {\arr[f_2]}: \arr\longmapsto \evlbin\cathom {\arr} {\arr[f_2]}= \evlbin[]{\catcirc[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat \catSet}]} {\evlbin\catcirc {\arr} \wld~~} {~~\evlbin\catcirc \wld {\arr[f_2]}}= \evlbin[]{\catcirc[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat \catSet}]} {\evlbin\catcirc \wld {\arr[f_2]}~~} {~~\evlbin\catcirc {\arr} \wld}$图 2 有助于理解 。
注意
不难看出
- $\begin{aligned}[t]\yoneda :{}&
\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
{\cat}
{\evlbin{\cathom[\catSet]}
{\evlcrynat[]\op
\cat}
\catSet}\\&
\obj[c_2]\longmapsto
\evlbin{\cathom[{\evlcrynat[]\op\cat}]}
{\obj[c_2]}
{\wld}=
\evlbin\cathom
{\wld}
{\obj[c_2]} &&\text{构成一个函子} \\&
\arr[f_2]\longmapsto
\evlbin{\cathom[{\evlcrynat[]\op\cat}]}
{\arr[f_2]}
{\wld}
=
\evlbin\cathom
{\wld}
{\arr[f_2]}=
\evlbin\catcirc
{\wld}
{\arr[f_2]} &&\text{构成一个函子间映射 , 即自然变换}
\end{aligned}$
该函子称作是米田嵌入 。
- $\begin{aligned}[t]\yoneda :{}&
\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
{\cat}
{\evlbin{\cathom[\catSet]}
{\evlcrynat[]\op
\cat}
\catSet}\\&
\obj[c_2]\longmapsto
\evlbin{\cathom[{\evlcrynat[]\op\cat}]}
{\obj[c_2]}
{\wld}=
\evlbin\cathom
{\wld}
{\obj[c_2]} &&\text{构成一个函子} \\&
\arr[f_2]\longmapsto
\evlbin{\cathom[{\evlcrynat[]\op\cat}]}
{\arr[f_2]}
{\wld}
=
\evlbin\cathom
{\wld}
{\arr[f_2]}=
\evlbin\catcirc
{\wld}
{\arr[f_2]} &&\text{构成一个函子间映射 , 即自然变换}
\end{aligned}$
$\evlbin\cathom {\obj[c_1]} {\wld}: \evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\cancel{\!\!{\evlcrynat[]\op \cat}\mbin{\cattimes[\catCat]}{}\!\!} \cat} \catSet$ 为函子且
$\evlbin\cathom {\obj[c_1]} {\wld}: \obj\longmapsto \evlbin\cathom {\obj[c_1]} {\obj}$ , 且对任意 $\arr[f]:\evlbin[]\cathom{\obj[c]}{\obj[c']}$ 有
$\evlbin\cathom {\obj[c_1]} {\wld}: \arr\longmapsto \evlbin\cathom {\obj[c_1]} {\arr}= \evlbin\cathom {\id[{\obj[c_1]}]} {\arr}= \evlcrynat[]{\evlbin\catcirc {\wld} {\arr}} {\obj[c_1]}$图 2 有助于理解 。
$\evlbin\cathom {\arr[f_1]} {\wld}: \evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\cancel{\!\!{\evlcrynat[]\op \cat}\mbin{\cattimes[\catCat]}{}\!\!} \cat} \catSet$ ,
$\evlbin\cathom {\arr[f_1]} {\wld}: \obj\longmapsto \evlbin\cathom {\arr[f_1]} {\obj}= \evlbin\cathom {\arr[f_1]} {\id[{\obj}]}= \evlcrynat[]{\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} {\wld}} {\obj}$ 且对任意 $\arr[f]:\evlbin[]\cathom{\obj[c]}{\obj[c']}$ 有
$\evlbin\cathom {\arr[f_1]} {\wld}: \arr\longmapsto \evlbin\cathom {\arr[f_1]} {\arr}= \evlbin[]{\catcirc[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat \catSet}]} {\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} \wld~~} {~~\evlbin\catcirc \wld {\arr}}= \evlbin[]{\catcirc[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat \catSet}]} {\evlbin\catcirc \wld {\arr}~~} {~~\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} \wld}$图 1 有助于理解 。
注意
不难看出
- $\begin{aligned}[t]\yoda :{}&
\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
{\evlcrynat[]\op
\cat}
{\evlbin{\cathom[\catSet]}
\cat
\catSet}\\&
\obj[c_1]\longmapsto
\evlbin\cathom
{\obj[c_1]}
{\wld} &&\text{构成一个函子} \\&
\arr[f_1]\longmapsto
\evlbin\cathom
{\arr[f_1]}
{\wld}=
\evlbin\catcirc
{\arr[f_1]}
{\wld} &&\text{构成一个函子间映射 , 即自然变换}
\end{aligned}$
该函子戏称为尤达嵌入 。
- $\begin{aligned}[t]\yoda :{}&
\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
{\evlcrynat[]\op
\cat}
{\evlbin{\cathom[\catSet]}
\cat
\catSet}\\&
\obj[c_1]\longmapsto
\evlbin\cathom
{\obj[c_1]}
{\wld} &&\text{构成一个函子} \\&
\arr[f_1]\longmapsto
\evlbin\cathom
{\arr[f_1]}
{\wld}=
\evlbin\catcirc
{\arr[f_1]}
{\wld} &&\text{构成一个函子间映射 , 即自然变换}
\end{aligned}$
积闭范畴
这里插个题外话 :
若范畴包含终对象 , 所有类型的积以及指数 , 则可将其称作积闭范畴 ;
若范畴包含始对象 , 所有类型的和 , 则可将其称作是余积闭范畴 ;
若范畴满足上述条件 , 则可称作双积闭范畴 。
很明显我们讨论的范畴 $\cat$ 就是双积闭范畴 。
08-09 函子和自然变换
一些特殊的范畴
现在规定几种特殊的范畴 。
离散范畴 : 只有对象不含箭头 ( 恒等箭头除外 ) 的范畴 。
$\catSet$ : 所有集合构成的范畴 , 为局部小范畴 , 满足
$\catSet$ 中对象为任意集合 ;
$\catSet$ 中箭头为集合间映射 。
$\catCat$ : 所有范畴构成的范畴 , 满足
$\catCat$ 中任何对象都构成一个范畴 ;
$\catCat$ 中任何箭头都构成一个函子 。
若 $\cat$ , $\cat[D]$ 为 $\catCat$ 中对象 , 则 :
$\evlcrynat[]\op\cat$ : 反范畴 , 满足
$\evlcrynat[]\op\cat$ 中对象皆形如 $\obj$ , $\obj$ 为任意 $\cat$ 中的对象 ;
$\evlcrynat[]\op\cat$ 中箭头皆形如 $\evlcrynat[]\op{\arr[i]}: \evlbin[]{\cathom[{\evlcrynat[]\op\cat}]} {\obj[c_2]} {\obj[c_1]}$ ,
$\arr[i]: \evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}$ 可为任意 $\cat$ 中的箭头 。
$\evlbin[]{\cattimes[\catCat]} {\cat} {\cat[D]}$ : 积范畴 , 满足
$\evlbin[]{\cattimes[\catCat]} {\cat} {\cat[D]}$ 中对象皆形如 $\evlbin[]\cons\obj{\obj[d]}$ ,
$\obj$ , $\obj[d]$ 分别为任意 $\cat$ , $\cat[D]$ 中的对象 ;$\evlbin[]{\cattimes[\catCat]} {\cat} {\cat[D]}$ 中箭头皆形如 $\evlbin[]\cons{\arr[i]}{\arr[j]}$ ,
$\arr[i]$ , $\arr[j]$ 分别为任意 $\cat$ , $\cat[D]$ 中的箭头 。
$\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat {\cat[D]}$ : 所有 $\cat$ 到 $\cat[D]$ 的函子的范畴 , 满足
$\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat {\cat[D]}$ 中任何对象
都是 $\cat$ 到 $\cat[D]$ 的函子 ;$\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat {\cat[D]}$ 中任何箭头
都是函子间自然变换 。
$\cat/\obj$ : 俯范畴 , 这里 $\obj$ 为任意 $\cat$ 中对象 ; 满足
$\cat/\obj[c_2]$ 中对象皆形如 $\cancel{ \smash[b]{ \evlbin[]\cons {\evlbin[]\cons {\obj[c]} {\obj[1]}} {{}}}\!} {\arr[i]}$ , 其中 $\obj[c]$ 和
$\arr[i]:\evlbin[]\cathom {\obj[c]} {\obj[c_2]}$ 分别为 $\cat$ 中任意的对象和箭头 ;$\obj[c_2]/\cat$ 中箭头皆形如 $\arr[f]\!\cancel{\smash[b]{\evlbin[]\cons {{}} {\id[{\obj[c_2]}]}}}$ 且满足下述交换图 , 其中
$ \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\obj[c]} \ar[r]^{\arr[i]} \ar[d]_{\mllap{\arr[f]}} & {\obj[c_2]} \ar[d]^{\mrlap{\id[{\obj[c_2]}]}} \\ {\obj[c']} \ar[r]_{\arr[i']} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{}!D*!U {\small\color{ForestGreen}\cat}\restore \save[].[ur]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D!L(8){\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & {\obj[c_2]} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\mclap{\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\evlcrytxt{\Di{\cat[①]}} {\obj[c_2]}}} {\cat[①]}}}\restore }\end{xy}} \qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\Id[\cat]}} {\obj[c]}} \ar[r]^{\arr[i]} \ar[d]_{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\Id[\cat]}} {\arr[f]}} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\evlcrytxt{\Di{\cat[①]}} {\obj[c_2]}}} {\obj[1]}} \ar[d]^{\mrlap{ {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\evlcrytxt{\Di{\cat[①]}} {\obj[c_2]}}} {\id[{\obj[1]}]} }}} \\ {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\Id[\cat]}} {\obj[c']}} \ar[r]_{\arr[i']} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\small\color{ForestGreen}\cat\bbox[LightGreen]{\Id[\cat]}}\restore \save[].[ur]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D!L(8) {\small\color{ForestGreen}\cat}\restore & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\evlcrytxt{\Di{\cat[①]}} {\obj[c_2]}}} {\obj[1]}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U{\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\evlcrytxt{\Di{\cat[①]}} {\obj[c_2]}}} {\cat[①]}}\restore \\ }\end{xy}} \qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ & {\cat} & \\ {\cat} \ar[ur]_{\Id[\cat]} & & {\cat[①]} \ar[ul]^{\evlcrytxt{\Di{\cat[②]}} {\obj[c_2]}} }\end{xy}} $
$\obj[c]$ , $\obj[c']$ 为 $\cat$ 中任意对象且 $\arr[f]$ , $\arr[i]$ , $\arr[i']$ 为 $\cat$ 中任意箭头 ;
$\obj[c_1]/\cat$ : 仰范畴 , 这里 $\obj$ 为任意 $\cat$ 中对象 ; 满足
$\obj[c_1]/\cat$ 中对象皆形如 $\cancel{ \smash[b]{ \evlbin[]\cons {\evlbin[]\cons {\obj[1]} {\obj[c]}} {{}}}\!} {\arr[i]}$ , 其中 $\obj[c]$ 和
$\arr[i]:\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c]}$ 分别为 $\cat$ 中任意的对象和箭头 ;$\cat/\obj[c_1]$ 中箭头皆形如 $\!\cancel{\smash[b]{\evlbin[]\cons {\id[{\obj[c_1]}]} {{}}}} \arr[f]$ 且满足下述交换图 , 其中
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\obj[c_1]} \ar[r]^{\arr[i]} & {\obj[c]} \\ {\obj[c_1]} \ar[r]_{\arr[i']} \ar[u]^{\mllap{\id[{\obj[c_1]}]}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\mclap{\small\color{ForestGreen} \evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\evlcrytxt{\Di{\cat[①]}} {\obj[c_1]}}} {\cat[①]} }}\restore & {\obj[c']} \ar[u]_{\mrlap{\arr[f]}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\small\color{ForestGreen}\cat}\restore \save[ul].[]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D!L(8) {\small\color{ForestGreen}\cat}\restore \\ }\end{xy}} \qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\evlcrytxt{\Di{\cat[①]}} {\obj[c_1]}}} {\obj[1]}} \ar[r]^{\arr[i]} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\Id[{\cat}]}} {\obj[c]}} \\ {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\evlcrytxt{\Di{\cat[①]}} {\obj[c_1]}}} {\obj[1]}} \ar[u]^{\mllap{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\evlcrytxt{\Di{\cat[①]}} {\obj[c_1]}}} {\id[{\obj[1]}]}}} \ar[r]_{\arr[i']} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\evlcrytxt{\Di{\cat[①]}} {\obj[c_1]}}} {\cat[①]}}\restore & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\Id[{\cat}]}} {\obj[c']}} \ar[u]_{\mrlap{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\Id[{\cat}]}} {\arr[f]}}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\small\color{ForestGreen}\cat\bbox[LightGreen]{\Id[{\cat}]}}\restore \save[ul].[]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D!L(8) {\small\color{ForestGreen}\cat}\restore }\end{xy}} \quad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!C=2cm{ & {\cat} & \\ {\cat[①]} \ar[ur]_{\evlcrytxt{\Di{\cat[①]}} {\obj[c_1]}} & & {\cat} \ar[ul]^{\Id[{\cat}]} }\end{xy}}$
$\obj[c]$ , $\obj[c']$ 为 $\cat$ 中任意对象且 $\arr[f]$ , $\arr[i]$ , $\arr[i']$ 为 $\cat$ 中任意箭头 ;
函子
接下来我们来提供函子的正式定义 :
- $\fct[F]:\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
{\cat}
{\cat[D]}$ 为函子当且仅当
对任意 $\cat$ 中对象 $\obj$ , $\evlcry[]{\fct[F]} \obj $ 为
$\cat[D]$ 中对象且 $\id[{\obj[c]}]\fct[F]=\id[{\evlcry[]{\fct[F]} {\obj[c]}}]$ ;对任意 $\cat$ 中箭头 $\arr[i_1]:\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}$ 和 $\arr[i_2]:\evlbin[]\cathom {\obj[c_2]} {\obj[c_3]}$ ,
始终都有等式 $\evlcry[]{\fct[F]} {\evlbin\catcirc {\arr[i_1]} {\arr[i_2]}}= \evlbin[]{\catcirc[{\cat[D]}]} {\evlcry[]{\fct[F]} {\arr[i_1]}} {\evlcry[]{\fct[F]} {\arr[i_2]}}$ 成立 。
若已确信 $\fct[F]:\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
{\cat}
{\cat[D]}$ 为函子且
还知 $\cat$ 中有对象 $\obj[c_1] , \obj[c_2]$
以及 $\cat$ 中有箭头 $\arr[i]:\evlbin[]\cathom{\obj[c_1]}{\obj[c_2]}$ 则
若 $\arr[i]$ 为单态 / 满态 / 同构
则 $\evlcry[]{\fct[F]}{\arr[i]}$ 为单态 / 满态 / 同构 。若 $\evlcry[]{\fct[F]}{\arr[i]}$ 为同构
则 $\arr[i]$ 为同构 。
注意
不难发现函子具有保持
对象 / 态射性质的能力 。
函子的复合运算
若还知道 $\fct[G]: \evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\cat[D]} {\cat[E]}$ 为函子则
- $\evlbin[]{\catcirc[\catCat]}
{\fct[F]}
{\fct[G]}: \evlbin[]{\cathom[\catCat]}
{\cat}
{\cat[E]}$
也构成一个函子 。
恒等函子
对于函子我们也有恒等映射 , 即 :
- $\begin{aligned}[t] \evlbin[]{\catcirc[\catCat]} {\Id[\cat]} {\fct[F]} & = \fct[F] \\ & = \evlbin[]{\catcirc[\catCat]} {\fct[F]} {\Id[{\cat[D]}]} \end{aligned}$
忠实 , 完全和本质满函子
若 $\cat$ , $\cat[D]$ , $\cat[E]$ 皆为局部小范畴 , 则
$\fct[F]$ 是忠实的当且仅当对任意 $\cat$ 中的对象 $\obj[c_1] , \obj[c_2]$ ,
$\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}$ 与 $\evlbin[]{\cathom[{\cat[D]}]} {\evlcry[]{\fct[F]} {\obj[c_1]}} {\evlcry[]{\fct[F]} {\obj[c_2]}}$ 之间始终都存在单射 ;$\fct[F]$ 是完全的当且仅当对任意 $\cat$ 中的对象 $\obj[c_1] , \obj[c_2]$ ,
$\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}$ 与 $\evlbin[]{\cathom[{\cat[D]}]} {\evlcry[]{\fct[F]} {\obj[c_1]}} {\evlcry[]{\fct[F]} {\obj[c_2]}}$ 之间始终都存在满射 ;$\fct[F]$ 是完全忠实的当且仅当任意 $\cat$ 中对象 $\obj[c_1] , \obj[c_2]$ ,
$\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {\obj[c_2]}$ 与 $\evlbin[]{\cathom[{\cat[D]}]} {\evlcry[]{\fct[F]} {\obj[c_1]}} {\evlcry[]{\fct[F]} {\obj[c_2]}}$ 之间始终都存在双射 。
注意
刚才提到的 “ 单 / 满 / 双射 ”
针对的都是范畴的箭头部分 。
- $\fct[F]$ 是本质满的当且仅当对任意 $\cat[D]$ 中对象 $\obj[d]$
都存在 $\cat$ 中对象 $\obj$ 使 $\evlbin[]{\cathom[{\cat[D]}]} {\evlcry[]{\fct[F]} \obj} {\obj[d]}$ 之间有双射 。
根据刚才的信息我们不难得知
若 $\fct[F]$ , $\fct[G]$ 为忠实 / 完全 / 完全忠实 / 本质满函子
则 $\evlbin[]{\catcirc[\catCat]} {\fct[F]} {\fct[G]}$ 为忠实 / 完全 / 完全忠实 / 本质满函子 ;若 $\evlbin[]{\catcirc[\catCat]} {\fct[F]} {\fct[G]}$ 为完全忠实函子
且知道 $\fct[G]$ 为完全忠实函子
则可知 $\fct[F]$ 为完全忠实函子 ;
自然变换
如果还知道 $\fct[F']:\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat {\cat[D]}$ 为函子 , 那么
$\ntf[\eta] : \evlbin[]{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat {\cat[D]}}]} {\fct[F]} {\fct[F']}$ 为自然变换当且仅当对任意
$\cat$ 中对象 $\obj[c]$ , $\obj[c']$ 始终都会有下述交换图成立 :$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c]}} \ar[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta]} {\obj[c]}} \ar[d]_{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\arr[f]}} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\obj[c]}} \ar[d]^{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\arr[f]}} \\ {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c']}} \ar[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta]} {\obj[c']}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U{\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\cat}}\restore & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\obj[c']}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U{\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\cat}}\restore \save[u].[].[l]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D!R(7){\small\color{ForestGreen}\cat[D]}\restore }\end{xy}}\quad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ \cat[D] \ar@{<-}@`{[]+/l+3pc/,[d]+/l+3pc/}[d]^ (.5){}="mid1"|{\fct[F]} \ar@{<-}@`{[]+/r+3pc/,[d]+/r+3pc/}[d]_ (.5){}="mid2"|{\fct[F']} \\ \cat \ar@2{>} "mid1";"mid2"^{\ntf[\eta]} }\end{xy}}$
自然变换的复合
若已知 $\ntf[\eta] : \evlbin[]{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
\cat
{\cat[D]}}]}
{\fct[F]}
{\fct[F']}$ 构成自然变换且
还知道 $\ntf[\eta'] : \evlbin[]{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
\cat
{\cat[D]}}]}
{\fct[F']}
{\fct[F'']}$ 为自然变换则
$\evlbin[]{\catcirc[{\cat\cathom[\catCat]\cat[D]}]} {\ntf[\eta]~~} {~~\ntf[\eta']}: \evlbin[]{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat {\cat[D]}}]} {\fct[F]} {\fct[F'']}$ 为自然变换 ,
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c]}} \ar[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta]} {\obj[c]}} \ar[d]_{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\arr[f]}} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\obj[c]}} \ar[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta']} {\obj[c]}} \ar[d]^{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\arr[f]}} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F'']}} {\obj[c]}} \ar[d]^{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F'']}} {\arr[f]}} & \\ {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c']}} \ar[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta]} {\obj[c']}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\cat}}\restore & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\obj[c']}} \ar[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta']} {\obj[c']}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\cat}}\restore & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F'']}} {\obj[c']}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F'']}} {\cat}}\restore \save[u].[].[ll]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D!R(13) {\small\color{ForestGreen}\cat[D]}\restore }\end{xy}}\quad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ \cat[D] \\ \cat[C] \ar@`{[]+/l+3pc/,[u]+/l+3pc/}[u]_ (.5){}="mid1"|{\fct[F]} \ar@`{[]+/r+0pc/,[u]+/r+0pc/}[u]^ (.5){}="mid2a"_ (.5){}="mid2b"|{\fct[F']} \ar@`{[]+/r+3pc/,[u]+/r+3pc/}[u]^ (.5){}="mid3"|{\fct[F'']} \ar@2{>} "mid1";"mid2a"^{\ntf[\eta]} \ar@2{>} "mid2b";"mid3"^{\ntf[\eta']} }\end{xy}}$
称作 $\ntf[\eta]$ 和 $\ntf[\eta']$ 的纵复合 。
如果还知道 $\fct[G']:\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
{\cat[D]}
{\cat[E]}$ 也是个函子
及自然变换 ${\ntf[\theta]}: \evlbin[]{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
{\cat[D]}
{\cat[E]}}]}{\fct[G]}{\fct[G']}$ 那么便有
$\evlbin[]\circ {\ntf[\eta]} {\ntf[\theta]} : \evlbin[]{\cathom[{\cat\cathom[\catCat]\cat[E]}]} {\evlbin[]{\catcirc[\catCat]} {\fct[F]} {\fct[G]}} {\evlbin[]{\catcirc[\catCat]} {\fct[F']} {\fct[G']}}$ 为
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G]}} {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c]}}} \ar[r]^{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G]}} {\evlcrynat[]{\ntf[\eta]} {\obj[c]}}} \ar[d]_{\mathllap{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G]}} {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\arr[f]}}}} \ar@[gray][drr]|(.7)[gray]{\evlcrynat[]{\ntf[\theta]} {\evlcry{\fct[F]} {\obj[c]}}} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G]}} {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\obj[c]}}} \ar[d]^{\mathrlap{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G]}} {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\arr[f]}}}} \ar@[gray][drr]|(.3)[gray]{\evlcrynat[]{\ntf[\theta]} {\evlcry{\fct[F']} {\obj[c]}}} \\ {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G]}} {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c']}}} \ar[r]_{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G]}} {\evlcrynat[]{\ntf[\eta]} {\obj[c']}}} \ar@[gray][drr]|(.7)[gray]{\evlcrynat[]{\ntf[\theta]} {\evlcry{\fct[F]} {\obj[c']}}} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G]}} {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\obj[c']}}} \ar@[gray][drr]|(.3)[gray]{\evlcrynat[]{\ntf[\theta]} {\evlcry{\fct[F']} {\obj[c']}}} \save[ul].[]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D!L(7){\small\color{ForestGreen}\cat[E]}\restore & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G']}} {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c]}}} \ar[r]^{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G']}} {\evlcrynat[]{\ntf[\eta]} {\obj[c]}}} \ar[d]_{\mathllap{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G']}} {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\arr[f]}}}} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G']}} {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\obj[c]}}} \ar[d]^{\mathrlap{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G']}} {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\arr[f]}}}} \\ & & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G']}} {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c']}}} \ar[r]_{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G']}} {\evlcrynat[]{\ntf[\eta]} {\obj[c']}}} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[G']}} {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\obj[c']}}} \save[ul].[]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D!L(7){\small\color{ForestGreen}\cat[E]}\restore \\ & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c]}} \ar[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta]} {\obj[c]}} \ar[d]_{\mathllap{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\arr[f]}}} \ar@{->}@[lightgray][uuul]|[lightgray]{\fct[G]} \ar@{->}@[lightgray][uur]|[lightgray]{\fct[G']} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\obj[c]}} \ar[d]^{\mathrlap{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\arr[f]}}} \ar@{->}@[lightgray][uuul]|[lightgray]{\fct[G]} \ar@{->}@[lightgray][uur]|[lightgray]{\fct[G']} & \\ & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c']}} \ar[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta]} {\obj[c']}} \ar@{->}@[lightgray][uuul]|[lightgray]{\fct[G]} \ar@{->}@[lightgray][uur]|[lightgray]{\fct[G']} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F']}} {\obj[c']}} \ar@{->}@[lightgray][uuul]|[lightgray]{\fct[G]} \ar@{->}@[lightgray][uur]|[lightgray]{\fct[G']} \save[ul].[]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U!L(6){\small\color{ForestGreen}\cat[D]}\restore & & }\end{xy}}\quad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ \cat[E] \ar@{<-}@`{[]+/l+3pc/,[d]+/l+3pc/}[d]^ (.5){}="mida1"|{\fct[G]} \ar@{<-}@`{[]+/r+3pc/,[d]+/r+3pc/}[d]_ (.5){}="mida2"|{\fct[G']} \\ \cat[D] \ar@2{>} "mida1";"mida2"^{{\ntf[\theta]}} \ar@{<-}@`{[]+/l+3pc/,[d]+/l+3pc/}[d]^ (.5){}="midb1"|{\fct[F]} \ar@{<-}@`{[]+/r+3pc/,[d]+/r+3pc/}[d]_ (.5){}="midb2"|{\fct[F']} \\ \cat \ar@2{>} "midb1";"midb2"^{\ntf[\eta]} }\end{xy}}$
自然变换 , 称作 $\ntf[\eta]$ 和 $\ntf[\theta]$ 的横复合 。
若 ${\ntf[\theta']}: \evlbin[]{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\cat[D]} {\cat[E]}}]}{\fct[G]}{\fct[G']}$ 为自然变换则
$\evlbin[]{\catcirc[{\cat\cathom[\catCat]\cat[E]}]} {\evlbin\circ {\ntf[\eta]} {\ntf[\theta]}~~} {~~\evlbin\circ {\ntf[\eta']} {\ntf[\theta']}} = \evlbin[]\circ {\evlbin{\catcirc[{\cat\cathom[\catCat]\cat[D]}]} {\ntf[\eta]~~} {~~\ntf[\eta']}} {\evlbin{\catcirc[{\cat[D]\cathom[\catCat]\cat[E]}]} {\ntf[\theta]~~} {~~\ntf[\theta']}}$ ,
$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ \cat[E] \ar@{<-}@`{[]+/l+3pc/,[d]+/l+3pc/}[d]^ (.5){}="mida1"|{\fct[G]} \ar@{<-}@`{[]+/r+0pc/,[d]+/r+0pc/}[d]_ (.5){}="mida2a"^ (.5){}="mida2b"|{\fct[G']} \ar@{<-}@`{[]+/r+3pc/,[d]+/r+3pc/}[d]_ (.5){}="mida3"|{\fct[G'']} \\ \cat[D] \ar@2{>} "mida1";"mida2a"^{{\ntf[\theta]}} \ar@2{>} "mida2b";"mida3"^{{\ntf[\theta']}} \ar@{<-}@`{[]+/l+3pc/,[d]+/l+3pc/}[d]^ (.5){}="midb1"|{\fct[F]} \ar@{<-}@`{[]+/r+0pc/,[d]+/r+0pc/}[d]_ (.5){}="midb2a"^ (.5){}="midb2b"|{\fct[F']} \ar@{<-}@`{[]+/r+3pc/,[d]+/r+3pc/}[d]_ (.5){}="midb3"|{\fct[F']'} \\ \cat \ar@2{>} "midb1";"midb2a"^{\ntf[\eta]} \ar@2{>} "midb2b";"midb3"^{\ntf[\eta']} }\end{xy}}$
即便改变横纵复合先后顺序也不影响最终结果 。
恒等自然变换
同样对于自然变换也有恒等映射 。
$\I[{\fct[F]}]:\evlbin[]{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\cat[C]} {\cat[D]}}]} {\fct[F]} {\fct[F]}$ 为恒等自然变换当且仅当
对范畴 $\cat$ 中任意对象 $\obj[c]$ 都有下述交换图成立 :$\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c]}} \ar[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta]} {\obj[c]}=\id[{\evlcry{\fct[F]}{\obj[c]}}]} \ar[d]_{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\arr[f]}} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c]}} \ar[d]^{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\arr[f]}} \\ {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c']}} \ar[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta]} {\obj[c']}=\id[{\evlcry{\fct[F]}{\obj[c']}}]} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\cat}}\restore & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c']}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\cat}}\restore \save[u].[].[l]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D!L(6) {\small\color{ForestGreen}\cat[D]}\restore }\end{xy}}\qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ \cat[D] \ar@{<-}@`{[]+/l+0pc/,[d]+/l+0pc/}[d]|{\fct[F]}^{}="mid" \\ \cat \save "mid" \ar@2@`{"mid"+/ur+5pc/,"mid"+/dr+5pc/}^{\ntf[\eta]}"mid" \restore }\end{xy}}$
自然同构
自然同构与你想象中的同构不太像 。
$\ntf[\eta] : \evlbin[]{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat {\cat[D]}}]} {\fct[F]} {\fct[F']}$ 为自然同构当且仅当
$\evlcrynat[]{\ntf[\eta]} {\obj[c]}$ 总是同构 , 这里 $\obj[c]$ 为任意 $\cat$ 中对象 。此时 $\fct[F]$ , $\fct[F']$ 的关系可用 $\evlbin[]{\catcong[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat {\cat[D]}}]} {\fct[F]~} {~\fct[F']}$ 表示 。
范畴等价的定义
我们用自然同构来定义范畴的等价 。
$\evlbin[]{\catcong[\catCat]} {\cat[C]} {\cat[D]}$ 当且仅当
存在函子 $\fct[F]:\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat {\cat[D]}$ 及 $\fct[F']: \evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\cat[D]} \cat$使 $\evlbin[]{\catcong[{\cat\cathom[\catCat]\cat[C]}]} {\evlbin[]{\catcirc[\catCat]} {\fct[F]} {\fct[F']}} {\id[\cat]}$ 并且有 $\evlbin[]{\catcong[{\cat[D]\cathom[\catCat]\cat[D]}]} {\evlbin[]{\catcirc[\catCat]} {\fct[F']} {\fct[F]}} {\id[{\cat[D]}]}$ 。
米田引理
若知道 $\fct[F]:\evlbin[]{\cathom[\catCat]}\cat\catSet$ , 则
反变米田引理的陈述如下 :
- $\evlbin[]{\catcong[\catSet]} {\underbracket[.4pt] {\evlbin{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\cat} {\catSet}}]} {\prs{\wld\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}}} {\bbox[LightGreen]{\fct[F]}}}_ {\text{一堆自然变换}}} {\underbracket[.4pt] {\evlcry{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c_2]}}_ {\text{一堆元素}}}$
反变米田引理的证明如下 :
$\Leftarrow$ : 考虑任意 $\evlcry{\bbox[LightGreen]{\fct}} {\obj[c_2]}$ 中的 $\bbox[LightGray]{\etc}$ : 根据 $\bbox[LightGray]{\etc}$ 及其所对应的上方右侧的交换图
$\qquad\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\obj\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} \ar[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]} {\obj}} \ar[d]_{\arr\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj}} \ar[d]^{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\arr}} \\ {\obj[c']\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} \ar[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]} {\obj[c']}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U{\small\color{ForestGreen}\cat\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}}\restore \save[].[u].[r]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{} !U*!D!L(4){\small\color{ForestGreen}\cat[Set]}\restore & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c']}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{}!D*!U {\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\cat}}\restore }\end{xy}}$
我们可为每个对象 $\obj[c']$ 定义其所对应的 $\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]} {\obj[c']}$ , 于是便可构建一个完整的 $\ntf[\eta_2]$ 。
易知 $\ntf[\eta_2]$ 是一个自然变换 。$\Rightarrow$ : 考虑任意等式左侧的 $\ntf[\eta_1]$ : 若上述交换图成立
$\qquad\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\obj[c_2]\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} \ar[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]} {\obj}} \ar[d]_{\arr\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c_2]}} \ar[d]^{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\arr}} \\ {\obj[c']\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} \ar[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]} {\obj[c']}} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\obj[c']}} }\end{xy}} \qquad % ---- \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\id[{\obj[c_2]}]} \ar@{->}[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]} {\obj}} \ar@{->}[d]_{\arr\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {{}} {\obj[c_2]}}} & {\bbox[LightGray]{\evlcry[]{\evlcrynat{\ntf[\eta_2]} {\obj}} {\id[{\obj[c_2]}]}}} \ar@{->}[d]^{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}} {\arr}} \\ {\arr} \ar@{->}[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_2]} {\obj[c']}} & {\evlcry[]{\evlcry{\bbox[LightGreen]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}}} {\arr}} {\bbox[LightGray]{\etc}}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{}\restore }\end{xy}}$
则可对任意 $\ntf[\eta_1]$ 指派 $\bbox[LightGray]{\etc}=\bbox[LightGray]{\evlcry[]{\evlcrynat{\ntf[\eta_1]} {\obj}} {\id[{\obj[c_1]}]}}$ 为 $\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct}} {\obj[c_2]}$ 中与之对应的元素 ;
为何构成同构呢 ? 因为 1 和 2 的自然变换表达式本质上是一样的 !
$\obj[c_2]$ 唯一地确定了 $\ntf[\eta_2]$ , 反之 $\ntf[\eta_2]$ 也唯一确定了 $\obj[c_2]$ 。
协变米田引理的陈述如下 :
- $\evlbin[]{\catcong[\catSet]} {\underbracket[.4pt] {\evlbin{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\cat} {\catSet}}]} {\prs{\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\wld}} {\bbox[LightGreen]{\fct}}}_ {\text{一堆自然变换}}} {\underbracket[.4pt] {\evlcry{\bbox[LightGreen]{\fct}} {\obj[c_1]}}_ {\text{一堆元素}}}$
协变米田引理的证明如下 :
$\Leftarrow$ : 考虑任意 $\evlcry{\bbox[LightGreen]{\fct}} {\obj[c_1]}$ 中的 $\bbox[LightGray]{\etc}$ : 根据 $\bbox[LightGray]{\etc}$ 及其所对应的上方右侧的交换图
$\qquad\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\obj} \ar[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]} {\obj}} \ar[d]_{\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\arr} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}}} \obj} \ar[d]^{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}}} \arr} \\ {\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\obj[c']} \ar[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]} {\obj[c']}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\small\color{ForestGreen}\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\cat}\restore \save[].[u].[r]*+<10pt>[F-:<8pt>:ForestGreen]\frm{}!U*!D!L(4) {\small\color{ForestGreen}\cat[Set]}\restore & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}}} {\obj[c']}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{} !D*!U {\small\color{ForestGreen}\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}}} \cat}\restore }\end{xy}}$
我们可为每个对象 $\obj[c']$ 定义其所对应的 $\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]} {\obj[c']}$ , 于是便可构建一个完整的 $\ntf[\eta_1]$ 。
易知 $\ntf[\eta_1]$ 是一个自然变换 。$\Rightarrow$ : 考虑任意等式左侧的 $\ntf[\eta_1]$ : 若上述交换图成立
$\qquad\vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\obj[c_1]} \ar[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]} {\obj}} \ar[d]_{\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\arr} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}}} {\obj[c_1]}} \ar[d]^{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}}} {\arr}} \\ {\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\obj[c']} \ar[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]} {\obj[c']}} & {\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}}} {\obj[c']}} }\end{xy}} \qquad \vcenter{\begin{xy}\xymatrix@!R=1cm@!C=2cm{ {\id[{\obj[c_1]}]} \ar@{->}[r]^{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]} {\obj}} \ar@{->}[d]_{\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\arr} & {\bbox[LightGray]{\evlcry[]{\evlcrynat{\ntf[\eta_1]} {\obj}} {\id[{\obj[c_1]}]}}} \ar@{->}[d]^{\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}}} {\arr}} \\ {\arr} \ar@{->}[r]_{\evlcrynat[]{\ntf[\eta_1]} {\obj[c']}} & {\evlcry[]{\evlcry{\bbox[LightGreen]{\bbox[LightGreen]{\fct[F]}}} {\arr}} {\bbox[LightGray]{\etc}}} \save[].[u]*+<3pt>[F-:<5pt>:ForestGreen]\frm{}\restore }\end{xy}}$
则可对任意 $\ntf[\eta_1]$ 指派 $\bbox[LightGray]{\etc}=\bbox[LightGray]{\evlcry[]{\evlcrynat{\ntf[\eta_1]} {\obj}} {\id[{\obj[c_1]}]}}$ 为 $\evlcry[]{\bbox[LightGreen]{\fct}} {\obj[c_1]}$ 中与之对应的元素 ;
为何构成同构呢 ? 因为 1 和 2 的自然变换表达式本质上是一样的 !
$\obj[c_1]$ 唯一地确定了 $\ntf[\eta_1]$ , 反之 $\ntf[\eta_1]$ 也唯一确定了 $\obj[c_1]$ 。
米田嵌入
根据前面的内容我们可知
- $\begin{aligned}[t]\yoneda :{}&
\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
{\cat}
{\evlbin{\cathom[\catSet]}
{\evlcrynat[]\op
\cat}
\catSet}\\&
\obj[c_2]\longmapsto
\evlbin{\cathom[{\evlcrynat[]\op\cat}]}
{\obj[c_2]}
{\wld}=
\evlbin\cathom
{\wld}
{\obj[c_2]} &&\text{构成一个函子 , 称作预层} \\&
\arr[f_2]\longmapsto
\evlbin{\cathom[{\evlcrynat[]\op\cat}]}
{\arr[f_2]}
{\wld}=
\evlbin\cathom
{\wld}
{\arr[f_2]}=
\evlbin\catcirc
{\wld}
{\arr[f_2]} &&\text{构成一个函子间映射 , 即自然变换}
\end{aligned}$
构成一个完全忠实函子 , 该函子称作是米田嵌入 。
证明如下 :
$\yoneda$ 是函子 , 因为
$\evlcry[]\yoneda{\id[{\obj[c_2]}]}=\evlbin\catcirc {\wld} {\id[{\obj[c_2]}]}=\id[{\evlcry\yoneda{\obj[c_2]}}]$
$\evlcry[]\yoneda{\evlbin\catcirc {\arr[f_2]} {\arr[f_2']}} = \evlbin\catcirc {\wld} {\evlbin\catcirc {\arr[f_2]} {\arr[f_2']}}= \evlbin[]{\catcirc[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat \catSet}]} {\evlbin\catcirc \wld {\arr[f_2]}} {\evlbin\catcirc \wld {\arr[f_2']}}$ ,
由于函子具有保持对象 / 映射性质的能力 ,
故便可知 $\evlcry[]{\yoneda}{\arr[f_2]}$ 为同构当且仅当 $\arr[f_2]$ 为同构 。$\yoneda$ 是完全忠实的 , 因为
将协变米田引理中的 $\obj[c_1]$ / $\cat$ / $\fct[F]$
分别换成 $\obj[c_2]$ / $\evlcrynat[]\op\cat$ / $\prs{\bbox[YellowGreen]{\evlbin[]{\cathom[{\evlcrynat[]\op\cat}]} {\obj[c_2']} {{}}}\wld}$
即可获得下述公式 :$\qquad\evlbin[]{\catcong[\catSet]} {\underbracket[.4pt] {\evlbin{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\evlcrynat[]\op\cat} {\catSet}}]} {\prs{\bbox[LightGreen]{\evlbin[]{\cathom[{\evlcrynat[]\op\cat}]} {\obj[c_2]} {{}}}\wld}} {\prs{\bbox[YellowGreen]{\evlbin[]{\cathom[{\evlcrynat[]\op\cat}]} {\obj[c_2']} {{}}}\wld}}}_ {\text{预层范畴的 hom-set}}} {\underbracket[.4pt] {\prs{\bbox[YellowGreen]{\evlbin[]{\cathom[{\evlcrynat[]\op\cat}]} {\obj[c_2']} {{}}}{\obj[c_2]}}}_ {\text{\(\cat\) 的 hom-set}}}$
也就是
$\qquad \evlbin[]{\catcong[\catSet]} {\underbracket[.4pt] {\evlbin{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\cat} {\catSet}}]} {\evlcry{\bbox[LightGreen]{\yoneda}} {\obj[c_2]}} {\bbox[YellowGreen]{\evlcry{\yoneda} {\obj[c_2']}}}}_ {\text{一堆自然变换}}} {\underbracket[.4pt] {\prs{\bbox[YellowGreen]{\evlbin[]{\cathom[{\evlcrynat[]\op\cat}]} {\obj[c_2']} {{}}}{\obj[c_2]}}}_ {\text{\(\cat\) 的 hom-set}}} = {\underbracket[.4pt] {\evlcry{\bbox[YellowGreen]{\evlcry{\yoneda} {\obj[c_2']}}} {\obj[c_2]}}_ {\text{一堆元素}}}$
注意
由于函子能够保持态射的性质 ,
对任意左侧集合中的自然同构
右侧集合也会有同构与之对应 , 反之亦然 。
这也就证明了前面自然同构相关的定理 。
根据前面的内容我们可知
- $\begin{aligned}[t]\yoda :{}&
\evlbin[]{\cathom[\catCat]}
{\evlcrynat[]\op
\cat}
{\evlbin{\cathom[\catSet]}
\cat
\catSet}\\&
\obj[c_1]\longmapsto
\evlbin\cathom
{\obj[c_1]}
{\wld} &&\text{构成一个函子} \\&
\arr[f_1]\longmapsto
\evlbin\cathom
{\arr[f_1]}
{\wld}=
\evlbin\catcirc
{\arr[f_1]}
{\wld} &&\text{构成一个函子间映射 , 即自然变换}
\end{aligned}$
构成一个完全忠实函子 , 该函子称作是尤达嵌入 。
证明如下 :
$\yoda$ 是函子 , 因为
$\evlcry[]\yoda{\id[{\obj[c_1]}]}= {\evlbin\catcirc \wld {\id[{\obj[c_1]}]}}=\id[{\evlcry\yoda{\obj[c_1]}}]$
$\evlcry[]\yoda{\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} {\arr[f_1']}}= \evlbin\catcirc {\wld} {\evlbin\catcirc {\arr[f_1]} {\arr[f_1']}}= \evlbin[]{\catcirc[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} \cat \catSet}]} {\evlbin\catcirc \wld {\arr[f_1]}~~} {~~\evlbin\catcirc \wld {\arr[f_1']}}$ ,
$\yoda$ 是完全且忠实的 , 因为
将协变米田引理中的 $\fct[F]$
换成 $\prs{\bbox[YellowGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {{}}}\wld}$
即可获得下述公式 :$\qquad \evlbin[]{\catcong[\catSet]} {\underbracket[.4pt] {\evlbin{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\cat} {\catSet}}]} {\prs{\bbox[LightGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1]} {{}}}\wld}} {\prs{\bbox[YellowGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {{}}}\wld}}}_ {\text{一堆自然变换}}} {\underbracket[.4pt] {\prs{\bbox[YellowGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {{}}}{\obj[c_1]}}}_ {\text{一堆元素}}}$
也就是
$\qquad \evlbin[]{\catcong[\catSet]} {\underbracket[.4pt] {\evlbin{\cathom[{\evlbin[]{\cathom[\catCat]} {\cat} {\catSet}}]} {\evlcry{\bbox[LightGreen]{\yoda}} {\obj[c_1]}} {\bbox[YellowGreen]{\evlcry{\yoda} {\obj[c_1']}}}}_ {\text{一堆自然变换}}}{\underbracket[.4pt] {\prs{\bbox[YellowGreen]{\evlbin[]\cathom {\obj[c_1']} {{}}}{\obj[c_1]}}}_ {\text{一堆元素}}}= {\underbracket[.4pt] {\evlcry{\bbox[YellowGreen]{\evlcry{\yoda} {\obj[c_1']}}} {\obj[c_1]}}_ {\text{一堆元素}}}$
注意
由于函子能够保持态射的性质 ,
对任意左侧集合中的自然同构
右侧集合也会有同构与之对应 , 反之亦然 。
这也就证明了前面自然同构相关的定理 。
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